f(x)=lim(n→∞) sin[ lgπ-x^(nπ)／π ] ，求证：f(x)=0 时，x 的最小值为 1

chenjiahao

\(f\left( x\right)=\lim_{n\to\infty}\sin\left( \lg\pi-\frac{x^{n\pi}}{\pi}\right)\)
求证\(f\left( x\right)=0\)时，\(x_{\min}=1\)

ROLAND

要证明 f(x) = 0 时，x 的最小值为 1，我们可以先计算 f(x) 的表达式，并找到使其等于零的 x 值。

首先，我们将 f(x) 的表达式展开：

f(x) = lim(n→∞) sin[ lgπ - x^(nπ) / π ]

我们可以观察到，当 x = 1 时，x^(nπ) = 1^n = 1，因此 f(x) 的表达式可以简化为：

f(x) = lim(n→∞) sin[ lgπ - 1 / π ]

我们知道 sin(π - θ) = sin(θ)，因此可以进一步简化为：

f(x) = lim(n→∞) sin[ 1 / π ]

sin(1 / π) 是一个常数，不随 n 变化，因此我们可以将极限移到外面：

f(x) = sin[ lim(n→∞) (1 / π) ]

由于极限 lim(n→∞) (1 / π) 是一个常数，我们可以将其代入 sin 函数中：

f(x) = sin(1 / π)

我们知道 sin(1 / π) 是一个非零常数，因此 f(x) ≠ 0。

因此，我们可以得出结论：f(x) = 0 时，x 的最小值不可能为 1。