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数学接力赛:实现黎曼的革命

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发表于 2023-8-19 07:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
数学接力赛:实现黎曼的革命



一件真正的艺术作品是不朽的,关乎数论的问题亦如是。

——大卫·希尔伯特

作者:[美] 马库斯·杜·索托伊

译者:柏华元

来源:图灵新知


在探索素数之路上,黎曼做出的贡献之巨大,使他遥遥领先于这一领域的其他数学家。大约过了 30 年,才有人敢接过黎曼手里的接力棒。

时间到了 1885 年。这一年似乎预示着这场接力赛要结束了。据说,有个无名小辈,不但接过了黎曼手中的接力棒,还冲过了终点线。他是一位名叫托马斯·斯蒂尔特杰斯的荷兰数学家。他宣称自己已经证明出了黎曼假设,即所有的零点都经过那条东西坐标是 1/2 的假想线。

斯蒂尔特杰斯看上去不太像个赢家。上大学时,他三次考试不及格。这使他的父亲大为失望,其父在荷兰国会任议员,还是个著名的工程师,曾负责鹿特丹码头的建造。不过,斯蒂尔特杰斯之所以考试不及格,不是因为他生性懒惰,而是因为相比于那些技术性的习题,他更愿意泡在莱顿大学的图书馆,沉浸在现实数学的世界里。

斯蒂尔特杰斯最崇拜的数学大师是高斯,他也想跟上这位大师的脚步。就像当年高斯就职于哥廷根大学的天文台一样,他也在莱顿大学的天文台谋得一个职位。说到这个职位,不得不提到他那位德高望重的父亲。其父向天文台的直接领导推荐斯蒂尔特杰斯,于是他才得到了这份工作,不过他对此并不知情。当他用望远镜仰望星空时,令他浮想联翩的不是如何去测量新发现的恒星的位置,而是那些数学上的天体运动。一天天过去,他的想法逐渐成形。他终于鼓起勇气,给一位优秀的数学家写了一封信。他就是夏尔·埃尔米特,来自著名的法国科学院。

埃尔米特出生于 1822 年,比黎曼大 4 岁。当时他已经 60 多岁了,是柯西和黎曼的忠实追随者,坚决捍卫他们在虚数函数上所做的工作。柯西对埃尔米特的影响,并不局限于数学领域。在青年时期,埃尔米特是个不可知论者。但是柯西这个虔诚的罗马天主教徒,在埃尔米特罹患重病身体虚弱时雪中送炭,使其皈依天主教。结果,埃尔米特脑中就形成了一种独特的数学神秘主义学派,类似于毕达哥拉斯学派。埃尔米特相信,数学是一种超自然的存在,那些平凡的数学家只是偶尔才有幸一瞥数学之真容。

埃尔米特相信,这位来自莱顿大学天文台的天文学家,拥有更开阔的数学视野。因此,面对这位无名小辈投来的稿件,他给予了热情的回应。很快,他们之间就进行了一场密集的数学对话,时间长达 12年之久,往来信件多达 432 封。埃尔米特深深折服于这个荷兰年轻人的想法。尽管斯蒂尔特杰斯没有取得相应的学位,但是埃尔米特还是愿意助他一臂之力,帮他在图卢兹大学谋得教授一职。在给斯蒂尔特杰斯的一封工作信件中,埃尔米特写道:“你总是正确的,而我总是错的。”

正是在这场对话的过程中,斯蒂尔特杰斯大胆地宣布,自己证明了黎曼假设。埃尔米特对这个年轻门生信任有加,当然不会无端怀疑斯蒂尔特杰斯是否真的证明出了黎曼假设。毕竟,他也在数学的其他分支做出过巨大贡献。

那时候,黎曼假设还没被数学界公认为最棘手的难题之一。因此,斯蒂尔特杰斯宣布这一消息后,并没有像现在一样在数学界立刻掀起轩然大波。对于自己凭直觉发现的一些零点,黎曼既没有大肆鼓吹,也没有写下具体的证明过程。所以,这一重大发现只能淹没在他那篇 10 页的论文里,等待着新一代的数学家去发现,去领会其重要意义。尽管如此,斯蒂尔特杰斯发布的这一消息还是令人激动的,因为证明了黎曼假设,也就意味着证明了高斯素数猜想,后者是当时数论界的“圣杯”。对于 100 万以内的数字,高斯的猜想在素数统计上的误差率是 0.17% 。而对于 10 亿以内的数字,误差率就降至 0.003% 。高斯相信,随着统计的数量越来越大,素数猜想的误差率就会越来越小。到了 19 世纪末期,高斯的猜想已经为人所熟知了。证明了这一猜想的那个人会因此而声名鹊起,而支持这一猜想的证明当然也是引人瞩目的。

当斯蒂尔特杰斯给埃尔米特写信,讨论他所做的证明时,在高斯猜想的破解上,一位数学家在 19 世纪 50 年代取得一项最大突破。他就是巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫,来自欧拉曾经的战场——圣彼得堡。他实际上无法证明,高斯猜想和实际素数个数存在之间的误差率,是否会随着统计数量的增大而减小。但是他证明,对于 N 以内的数字,无论 N 取值有多大,其误差率都不会超过 11% 。高斯曾猜想,对于 10 亿以内的数,其误差率为 0.003% 。切比雪夫提出的观点,似乎和高斯的猜想相差甚远。但是前者的重要意义在于明确了这一点:无论统计的数字有多大,二者之间的误差都不会突然变得过大。在此之前,高斯的猜想只是基于少量的实验证据。通过理论分析,切比雪夫首次证明对数和素数存在某种关系。不过,要想真正证明二者确实如高斯所言那样紧密联系,还有很长一段路要走。

借助最基本的方法,切比雪夫成功控制了误差率。那时,黎曼正在哥廷根大学里,沉浸在那片复杂的虚数图景中。当听到切比雪夫在高斯猜想上取得的成就时,黎曼萌生了一个念头,要助其一臂之力。证据来自他想要寄给切比雪夫的一封信。在信中,他分享了自己在这方面的心得。而从黎曼仅存的手稿中,依稀可见一些对于切比雪夫名字的不同拼写。不过,黎曼最终有没有寄信给切比雪夫,就不得而知了。不管怎样,在降低素数统计误差率上,切比雪夫此后再也没能取得任何进展。

这就是为何对当时的数学界来说,斯蒂尔特杰斯宣布证明黎曼假设同样是一个令人兴奋的消息。当时还没人意识到,证明黎曼假设堪称寻得数学界的“圣杯”,但是证明高斯的猜想在当时是可圈可点的。埃尔米特迫不及待地想要看到斯蒂尔特杰斯写下的证明过程,却始终不见这个年轻人有所动静,一次次得到的答复都是证据还不够充分。此后五年时间里,面对埃尔米特的不断催促,斯蒂尔特杰斯还是拿不出新的证据来支持他提出的观点。看到斯蒂尔特杰斯一直缄默不语,埃尔米特越来越失望沮丧。忽然,他想出一个妙计,或许就能一睹他期待已久的证明之芳容,几年来的抑郁之情自然也就一扫而空了。埃尔米特向法国科学院提议,将 1890 年的数学科学大奖颁发给那个证明高斯素数猜想的人。埃尔米特回来后非常自信,觉得这个大奖正在向他的朋友斯蒂尔特杰斯招手呢!

以下就是埃尔米特的计划。斯蒂尔特杰斯无须宣布破解了黎曼假设,只需要用图表来表示虚数图景的一小部分即可,也就是欧拉开辟的图景和黎曼拓展之后的边界。一言以蔽之,只要他能证明那条穿过数字 1 的假想线上没有零点,就能摘得这项大奖。每个黎曼零点在东西方向轴上的坐标,决定了高斯公式在计算上的误差。零点越靠东,误差就越大。如果黎曼假设为真,那么误差就会很小。假如所有零点都整齐排列在那条穿过数字 1 的假想线的西侧,那么即使黎曼假设不成立,高斯的猜想也可能是正确的。

大赛的截止日期已过,斯蒂尔特杰斯那边还是没有传来任何动静。但是埃尔米特的计划也不算完全落空。令他出乎意料的是,他的学生雅克·阿达马参加了此次比赛。尽管从阿达马提交的论文里看不到完整的证明过程,但是他提出的观点令在场的人眼前一亮,使得他荣获这项大奖。这使阿达马大受鼓励。在 1896 年,阿达马终于成功填补了之前自己观点中的缺陷。虽然他还是无法证明所有的零点都分布在黎曼那条通过数字 1/2 的临界线上,但是至少证明了在那条穿过数字 1 的假想线的东面没有零点。

数学家们终于证明了高斯素数猜想为真,这距离高斯发现素数和对数函数的关系已过了一个世纪。从那时起,高斯素数猜想就不再被称作猜想,而是被公认为素数定理。自古希腊人证明素数有无穷多个以来,这一定理是数学家在素数研究上取得的最重大的成果。尽管我们永远不能触碰到数字宇宙的无垠边界,但是阿达马证明,对于一往无前的宇宙旅行者来说,前方不会有太多变数。高斯在早期发现的实验证据不是大自然耍的一些小把戏,它们不会使人们误入歧途。

如果没有借助黎曼的研究成果,阿达马就无法取得这么大的成就。他证明高斯素数猜想的灵感来自黎曼开辟的 ζ 函数图景。不过,这距离证明黎曼假设还差得远。在论文中,就其证明过程,阿达马提到,自己在斯蒂尔特杰斯面前就是班门弄斧。后者直到 1894 年去世时,依然宣称自己证明了黎曼假设。斯蒂尔特杰斯也因此位列试图攻克黎曼假设的数学家名单之首。在那个名单上,是一群德高望重的数学家,他们都宣布自己证明出了黎曼假设,但最后也都不了了之。

很快,阿达马就听到一个消息:有个人分了素数定理一杯羹。一位名叫查尔斯·德·拉·瓦莱 - 普桑的比利时数学家也同时宣布自己证明了高斯素数猜想。阿达马和德·拉·瓦莱 - 普桑取得的伟大成果,拉开了一段艰苦漫长的征程之序幕。一直到 20 世纪,数学家们还在前仆后继地踏上这段漫漫征程,去探索黎曼开拓的那片图景。“万事俱备,只欠东风”,阿达马和德·拉·瓦莱 - 普桑已经搭建好了大本营,就等着人们向着临界线攀登了。也正是从那时起,这一问题开始担起其应有的角色:一座高不可攀的数学珠峰。不过出人意料的是,证明这个问题有赖于 ζ 函数图景上的那些最低点。鉴于高斯素数定理已经尘埃落定,是时候让黎曼提出的那个伟大问题,从他那篇密密麻麻的 10 页论文里走出来,登上素数的历史舞台了。

正是另一位名叫大卫·希尔伯特的哥廷根数学家,发现了黎曼隐藏在那篇论文里的智慧光芒,并将其呈现于世人面前。这个魅力四射的数学家,在 20 世纪发起了一场声势浩大的运动,促使数学家们纷纷卷入摘取黎曼假设这个终极大奖的热潮中。



《悠扬的素数》

作者:[美] 马库斯·杜·索托伊

译者:柏华元

入围《经济学人》《泰晤士报》《卫报》和《泰晤士报文学增刊》年度好书,知名科普作家卢昌海鼎力推荐

牛津大学数学教授,英国皇家学会研究员马库斯·杜·索托伊科普力作

带你一同探索黎曼假设,讲述数学家求知路上的苦与乐

好玩的数学 2023-08-19 07:02 发表于江西

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