数学史上最重要谜题：设立一百万美元悬赏，找人给这篇全世界不到 10 人能懂的论文挑错

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数学史上最重要谜题：设立 100 万美元悬赏，找人给这篇全世界不到 10 人能懂的论文挑错

一家日本科技媒体公司的创始人发起大额奖金悬赏，奖励能从一份数学“天书”中找到漏洞的人。

原作 Manon Bischoff

翻译 杨梦

编辑 魏潇

对于数论学家来说，2012 年就像坐过山车一样。日本京都大学著名数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）在这一年发表了对该领域最重要且悬而未决的谜题之一 —— abc 猜想的证明。但狂欢很快就幻灭了：望月新一花了 20 年时间独自做出了长达 500 多页的全新形式的证明，需要其他专家来解读。在过去的十年里，这些专家一直咬牙切齿地研究这份“天书”。甚至开了几次学术会议也无法确定 abc 猜想的证明是否成立。为了改变这一现状，日本科技信息公司 DWANGO 的创始人川上量生（Nobuo Kawakami）设立了一项 100 万美元的奖金，准备奖励给第一个写出论文，找到望月新一证明中固有缺陷的人。


望月新一个人主页截图 望月新一＠数理研 (kyoto-u.ac.jp)

乍一看，abc 猜想似乎简单得“人畜无害”。它涉及两个自然数 a 和 b，以及它们的和 a + b = c 。正如数论中常见的那样，该猜想涉及能被一个给定的数字——数学家称之为素除子（prime divisor）——整除的素数。任何数字都可以表示为素数的乘积，例如 15 是 3 × 5 ，324 是 2^2 × 3^4 。324 是“富数”的一个例子，因为它有许多相等的素除子（2 出现了两次，3 出现了四次）。如此“丰富”的数字实属罕见。更罕见的是，两个富数之和又是富数。这种不寻常的现象就是数学家 Joseph Oesterlé 和 David Masser 在 1985 年提出的 abc 猜想。这个猜想给出了一种衡量两个数之和有多“丰富”的方法。该猜想的特别之处在于它结合了自然数的可加性和可乘性。

因为方程 a + b = c 很简单，所以与之相关的问题很多。例如，费马大定理（Fermat's theorem）涉及 a^n + b^n = c^n 形式的解，该定理让数学家们困扰了 350 多年。20 世纪 90 年代中期，数学家 Andrew Wiles 证明了当 n>2 时，这个简单的方程对 a 、b 或 c 都没有整数解。但如果 abc 猜想成立，费马大定理就更容易解释了。该猜想还将解决数论中的一些悬而未决的问题，并可能成为数论领域的重要工具，尤其是当与椭圆曲线的概念相结合时。

500 页证明中的一个错误？

因此，在望月新一的成果发表后，相当多的数论学家对其进行了抨击也就不足为奇了。这位日本数学家已经取得了重大成就。但他原本为了证明 abc 猜想而建立的“宇宙际 Teichmüller 理论”（inter-universal Teichmüller theory, IUT），充斥着一页又一页的定义和定理，这些定理的证明通常只是简单地写着:“证明来自定义”。这种不寻常的风格总共延续了约 500 页，和他曾经另外一份 500 页的作品一脉相承。这位数学家也没有让他的同事们好过：他拒绝在国外发表他的研究结果，因此关于这个主题的几次学术会议他都没有参加。


望月新一有关宇宙际 Teichmüller 理论的论文 来源：产经新闻

2018 年，故事终于迎来了高潮，刚刚获得菲尔兹奖的德国数学家 Peter Scholze 和他的同事 Jakob Stix 发表了论文《为什么 ABC 仍然只是一个猜想》（Why ABC Is Still a Conjecture）。在这篇文章中，他们声称在望月新一的证明中发现了一个“严重”的问题。Scholze 和 Stix 甚至曾在 2018 年 3 月前往日本与望月新一讨论此事。但三人未能达成共识。对于 Stix 和 Scholze 来说，证明中的含糊之处仍然存在，而望月新一则声称，他的两位同行将实际上不同的对象等同起来，从而得出了错误的结论。

2021 年，当望月新一的证明论文以修订版的形式出现在京都大学的数学期刊《数理解析研究所论文集》（Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences）上时，进一步的争议出现了，望月新一本人是该杂志的主编。这一举动本身并不罕见：数学家经常在他们担任编辑的期刊上发表他们的研究成果。重要的是，这些学者不参与对自己论文的同行评审。然而，Scholze 坚持认为，证据是不完整的。

百万美元奖金的动机

因此，尽管望月新一发表了最新的论文，但大多数数论学家仍然无法认同他的证明。尽管望月新一享有盛誉，但该领域的共识表明，他的论点并不能证明 abc 猜想，这意味着 a + b = c 之谜仍然悬而未决。

为了消除这种不确定性，日本科技信息公司 DWANGO（niconico 网站的母公司）创始人川上量生开始了他的行动。根据英国媒体《新科学家》（New Scientist）最近报道称，虽然他本人不是数学家，但川上量生认为 IUT 理论对数学界做出了重要贡献。2023 年 6 月，川上宣布将在未来十年内每年选拔一篇在望月新一的 IUT 理论方面取得重大进展的论文，向其作者颁发 2 万至 10 万美元的奖金。该论文将由一个 IUT 理论专家小组进行评选，首次颁奖预计于 2024 年进行。

另一方面，如果有人发现这一理论存在严重缺陷，将获得 100 万美元。川上将自行决定哪篇经过了同行评审的出版物获得该奖项。他在最近的一次新闻发布会上解释说，他提供这笔奖金是为了激励更多的人在这一领域进行研究。日本东京工业大学名誉教授、数学家加藤文元（Fumiharu Kato）告诉《新科学家》杂志，据他估计，世界上熟悉 IUT 理论的人不到 10 人。因此，川上的努力是否会取得成果以及 abc 猜想是否会得到解决，还有待观察。

原文链接：

https://www.scientificamerican.c ... -conjecture-theory/

原创 科研圈 科研圈 2023-08-04 17:53 发表于北京

白新岭

“例如 15 是 3 × 5 ，324 是 22 × 34 。324 是“富数”的一个例子，因为它有许多相等的素除子（2 出现了两次，3 出现了四次）”
       理解不了，15=3*5没毛病，324如何等于22*34不干苟同，324/2=162,162/2=81,81/3=27,27/3=9,9/3=3，出现了两次2，四次3不假，奥，明白了，天才，竟然把\(2^2*3^4\)表示成了22*34，我无语了。

被遗弃的草根

abc猜想在提法上就是不严密的，按照abc猜想提法，既可以证明它，又可以否定它，问题出在“任意实数ε>0”上。我曾经为此给望月新一去过信，后来，又把论文传到以他为主编的杂志而未被采用，但他的长篇大论似乎此后在网上消失了，后来我传该论文到过许多杂志，都被委婉拒绝，不敢发表。一气之下，传给一个不出名的“印度数学研究杂志”上发表了。现在，望月新一不甘心，又搞些名堂出来。无论怎样，只是证明abc猜想成立，没有解决abc猜想。

被遗弃的草根

白新岭 发表于 2023-8-7 13:32
“例如 15 是 3 × 5 ，324 是 22 × 34 。324 是“富数”的一个例子，因为它有许多相等的素除子（2 出现了 ...

ABC猜想声明：如果A、B 和C 是三个互质的正整数, 且 满足A+B=C, 那么, 对于任意实数ε>0, 按照不等式C>(rad(A, B, C))^(1+ε)仅有至多有限组解, 这儿rad(A, B, C) 表示A、B 和 C 的全部不同的素因子之积.   

白新岭

被遗弃的草根 发表于 2023-8-9 22:05
ABC猜想声明：如果A、B 和C 是三个互质的正整数, 且 满足A+B=C, 那么, 对于任意实数ε>0, 按照不等式C>(r ...

您的介绍，总使我明白了ABC的含义。