ΔABC 中，∠C=2∠B，M 在 BC 上，CM=2BM，D 是 AC 中点。求证：MD=BM+AD

denglongshan

选自纯几何吧

王守恩

\(∠B=2B,∠C=4B,∠A=180-6B\)

\(AB=3\sin(4B),BM=\sin(6B),CM=2\sin(6B),AD=CD=3\sin(B)\cos(B)\)

\(\frac{BM+AD}{MD}=\frac{(BM+AD)^2}{(MD)^2}\)

\(=\frac{(\sin(6B)+3\sin(B)\cos(B))^2}{(2\sin(6B))^2+(3\sin(B)\cos(B))^2-2(2\sin(6B))(3\sin(B)\cos(B))\cos(4B)}\)

\(=\frac{\sin(6B)^2+(3\sin(B)\cos(B))^2+6\sin(6B)\sin(B)\cos(B)}{4\sin(6B)^2+(3\sin(B)\cos(B))^2-12\sin(6B)\sin(B)\cos(B)\cos(4B)}\)

\(=\frac{6\sin(6B)\sin(B)\cos(B)}{3\sin(6B)^2-12\sin(6B)\sin(B)\cos(B)\cos(4B)}\)

\(=\frac{2\sin(6B)\sin(B)\cos(B)}{\sin(6B)^2-4\sin(6B)\sin(B)\cos(B)\cos(4B)}\)

\(=\frac{\sin(6B)\sin(2B)}{\sin(6B)^2-2\sin(6B)\sin(2B)\cos(4B)}\)

\(=\frac{\sin(2B)}{\sin(6B)-2\sin(2B)\cos(4B)}\)

\(=\frac{\sin(B)}{\sin(3B)-2\sin(B)\cos(2B)}\)

\(=\frac{1}{3-4\sin(B)^2-2\cos(2B)}\)

\(=\frac{1}{3-4\sin(B)^2-2+4\sin(B)^2}\)

\(=1\)

天山草

注： 在上面程序中，u 和 v 都是正实数，且 u>4。

denglongshan

tmduser

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luyuanhong

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波斯猫猫

题：如图，在ΔABC 中，∠C=2∠B≤90°，M 在 BC 上，CM=2BM，D 是 AC 中点。求证：MD=BM+AD。


思路：作等腰△ABE，使AE=AB，CF⊥于AE于F，连DF，F到BE的距离为h，其它各线段的大小如图所示。

因∠C=2∠B，则△ACE是等腰三角形，且△ACE∽△ABE。即(3x+2y)/2r=2r/2y，或r^2=y(3x+2y)/2。

又在Rt△ACE中，有h/r=√(4y^2-r^2)/2y，或4h^2y^2=r^2(4y^2-r^2)，或h^2=(3x+2y)(6y-3x)/16。

从而y^2-h^2=(3x-2y)^2/16，即√(y^2-h^2)=(3x-2y)/4。

因DF∥BE，故z^2=[2x-(√(y^2-h^2)]^2+h^2=4x^2-4x√(y^2-h^2)+y^2=4x^2-x(3x-2y)+y^2

=(x+y)^2，即z=x+y，或MD=BM+AD。

luyuanhong

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ataorj

如图,求证:y=1+z
由公式cot(2v)=([cot(v)]^2-1)/2cot(v),
即x/2h=[((3-x)/2h)^2-1]/((3-x)/h)
化简得12x-3xx-9+4hh=0 ....(1)
而1+z=1+Sqrt[(x/2)^2+h^2]
且y=Sqrt[(2-x/2)^2+h^2]
先假设yy=(1+z)^2,化简后同(1)式,可见假设成立,
则y=(1+z),证毕

波斯猫猫

三角法是简洁。