用函数来思考（下）

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用函数来思考（下）

作者 | 林琦焜（国立交通大学应用数学系退休教授）

来源 |《数学传播》2019 年第 43 卷第 3 期（171）

4. 三角函数

“几何三角共五角, 三角三角、几何几何。积分微分并差分, 微分微分、积分积分。” —— Chi-Kun Lin

数学漫长的历史长河离不开天文学, 而天文学离不开三角学。这是一个古老且非常有用的数学分支。出生于尼西亚的希帕恰斯（Hipparkhos, 约 BC190 - BC120）是所有时代最伟大的天文学家之一。(尼西亚, Nicaia 或 Nicaea, 尼西亚位于小亚细亚, 著名的尼西亚会议是指在此举行的两次基督教大公会议, 分别是第一次 (公元 325 年) 和第七次 (公元 787 年）的大公会议。对基督教影响深远。第一次会议颁布《尼西亚信经》就是以此城市为名。《信经》(英语是 Creed 源自拉丁文 credo , 意为“我信”)是传统基督教(天主教)权威性的基本信仰纲要)他同时也是一位杰出的数学家, 但因为他的数学成就是附属于天文学之下以至于被人遗忘了。事实上他是三角学与球面三角学的奠基者, 没有三角学就没有真正的天文学。我们关于希帕恰斯的知识是透过后来的天文学家特别是托勒密而来的。托勒密对于这位前辈评价非常的高, 称他为热爱研究与真理的人。

公元 140 年, 古希腊天文学家托勒密发表了他的 13 卷巨著《天文学大成》(Almagest) 或翻译为《至大论》, 在总结前人工作（特别是希帕恰斯 (Hipparkhos)）的基础上系统地确立了地心说。根据这一学说, 地为球形, 且居于宇宙中心, 静止不动, 其他天体都绕着地球转动。《天文学大成》：共十三册, 拉丁书名源于阿拉伯文的 almajst, 而这又源于希腊文的“最伟大的结集”。虽然这是天文学的著作, 但是它在数学史非常重要, 因为它可以说是三角学最早有系统的论著。在托勒密之后, 人们对于天文学的兴趣没落了, 因此三角学的研究也渐渐式微。后来印度人采用亚历山大学派的方法而延续了三角学的香火。值得一提的是: 正弦（Sine）是印度天文学家发明的, 后来被花拉子模以及其他阿拉伯天文学家采用, 并且在 14 世纪传到使用拉丁语的西方世界。

何谓三角学（trigonometry）？由其名知其义, tri (三) gon (边) metry (测量)、也就是三边（三角形）测量。关于三角学最著名的传说是泰尔斯（Thales, 624BC - 547BC）访问埃及时法老王即席问他如何测量金字塔的高度时, 他向法老王要了一个士兵命其站在太阳下等到该士兵的影子与身高一样时再命令两个士兵立刻去量金字塔影子的长度, 这就是金字塔的高度！这实在是非常有创意的方法。好的数学是利用简单的方法来解决困难的问题, 而不是杀鸡用牛刀。泰尔斯的方法正是三角学的根本精神: 利用直角三角形的相似性。

三角学的起源是从确定平面三角形与球面三角形的边与角的关系开始的。以公式 y=sinx 而言最初是直角三角形中关于角度定义的三角比, 而且只关心几个特别角。现在进入函数的领域则脱离了角度的限制, 而认定仅仅是两个变量之间的关系。三角函数另一个常见的名称是圆函数（circular function）因为三角函数是从单位圆出发的。

例题 4.1 ：正弦函数 。

解： 令 P 是单位圆周的动点由 A=(1,0) 按逆时针旋转, 则 P 到 x 轴的值就是 sinx 。显然 P 在上半圆周 sinx 的值为正, 经过 π 之后 P 落在下半圆周则 sinx 的值为负。其实 sinx 的正负值与四个象限的 y 值一致 (+,+),(-,+),(-,-),(+,-) 。当动点 P 在单位圆周上周期地运转时在 x-y 平面也同时画出一条周期函数的正弦曲线。


y=sinx 在第一 、二象限之图形


y=sinx 在第三 、四象限之图形

定理 4.2 ：（托勒密定理）

在圆的内接四边形, 其两个对角线的乘积等于两双对边乘积之和。



证明： 请参考[10,17]。由托勒密定理可以推得勾股定理与和差化积（积化和差）等公式, 读者可以参考[10]。


托勒密定理

三角函数基本上是关于三角形角与边长之间关系的函数, 但以实用性而言还是 Lagrange 的定义最好用。例如



如果我们给函数定义为收敛的无穷级数则容易推得



这是一个实数。事实上可以证明: 任何实数值（real-valued）的偶函数在虚轴上取实数值。

5. 指数函数



定义 5.1（指数函数）：



定义 5 基本上是二项式定理, 这是由复利（compound interest）的计算而来, 稍微有见识的数学家对于二项展开式必定是熟悉到像呼吸那么自然。不管是那一个定义, 首先要确定  e 是什么？我们看一下微分（即变化）



“ e 是一个指数函数的底, 这个函数将相加之和映像到乘积, 而且其变化率（微分）等于它自己。”



6. 对数函数

“如果我们渴望进一步全面了解对数的理论, 最好是大体上遵循它的创建历史。”—— Felix Klein (1849-1925)

十六世纪后期由于天文与探险之热潮, 对于计算之要求日益殷切, 如何计算繁杂的数据（特别是三角计算）是那个年代最迫切的问题。苏格兰数学家 John Napier (1550-1617) 于 1614 年发表《对数奇妙法则的描述》（Mirifici logarithmorum canonis descriotio）宣布对数（对数的发明就像是一个晴天霹雳来到世界上。前人的任何工作都未能导致这项发明, 也没有任何东西预见到它或预示它的到来。这项发明是孤立的, 它没有借助于其他的智力工作, 也没有遵循原有的数学思想路线, 就突然闯进人类思想中——《Napier 300 年纪念文集之序言》）的发现, 直到去世之前他仍然在编制对数表。此一遗作后来由英国数学家 Henry Briggs（1561-1631）完成。对数的发明对于天文学有直接的帮助, 最著名就是 J. Kepler 因着 John Napier 的对数表而加速其行星运动之研究。

对数的历史比指数还早, 对数符号 log 出自拉丁文 logarithm , 最早由 1632 年意大利数学家卡瓦列里所使用。纳皮尔在表示对数时套用 logarithm 整个词, 并未作简化。1624 年, 克卜勒才把对数符号简化为 Log 。在数学上我们以  log 来表示, 这个字除了木头、日志之外还有话语（word）、思想（thought）等意思, 它有希腊哲学与基督教神学的背景。对数（logarithm）这个字是由比例（logos）与数字（arithmos）所组成，意思是比例（或理性）的数（number of ration）。古希腊哲学的主导概念是逻各斯（logos）。这个重要的希腊文原文的意思是话语（道）, 同时也解释作理性、准则、论证或度量。如果我们想抓住希腊哲学的精神, 就必须牢记这一系列含义的重要性, 逻辑（logic）就是由此衍生而来, 逻辑学就是有关逻各斯（logos）的科学。希腊思想中“道”的观念大约开始于公元前 500 年, 在以弗所的一名哲学家赫拉克利特（Heraclitus, BC535-BC475）, 他的基本思想是：每一样东西时刻都在变动。他最著名的例子是人不可能踏进同一条河流两次。但是这一切变动并不是杂乱无章的, 而是有秩序的。赫氏认为逻各斯（logos）, 道, 就是秩序的原则, 整个宇宙都借它而存在。赫氏更进一步说, 不只物质世界有模式, 事情更迭变动的世界也有模式。他认为没有一件事物是漫无目的的, 在一切生命与生命的事迹中都有一个目的, 一个计划, 一个设计, 一个构思。然而什么是力量控制着一切事物呢？答案又是逻各斯（logos）, 使人有理性, 有认识真理的能力, 有辨别是非的能力就是上帝在人心中的逻各斯（logos）。这种心意、理性的概念, 统御世界的 logos 使希腊人为之着迷。例如, 柏拉图就宣称: 上帝的逻各斯（logos）使行星运行在轨道上, 又按时带回季节与年份。这个概念后来由斐罗（Philo, BC20 - AD40）发挥得淋漓尽致, 他是一位住在亚历山大的犹太人, 他致力于融合犹太人与希腊人这个崇高的思想, 他认为上帝的逻各斯（logos）系“铭刻在万物的构造之上”。基本上逻各斯（logos）是人和上帝之间的桥梁。

回顾历史, logos 在对数中最接近的意义是指一切事物遵照它而运行的原则：将定义域 0、1、2、3、……（arithmos）对照到值域的一个规则。对数就其历史而言是从算术-几何（等比）级数之关系开始的:



关于上述这个关系式有一个有趣的历史典故:  据说 Galois 参加法国巴黎高等理工（Ecole Polytechnique）的入学考试, 其中口试委员问他对数是什么？他在黑板上写的就是上述这个精练的关系。然而口试委员不满意这个答案而认定他是错的, 因而 Galois 愤而将板擦丢向该委员。

John Napier 考虑的是如下的等比数列





“到表里去查, 看这个数要乘几次方才会得到所要的数” 。



定义 6.1 ：(对数函数)



读者可由《数学是什么》一书中得到部分的结果。其它可自行练习, 我认为一个数学人一生当中至少要有一次推导过这些不同定义之间的关系, 并且从中体会如何推广到复数、矩阵, 甚至更抽象的算子, 如此我们便迈入复数函数论与泛函分析的奇异世界。



多项函数的临界指数（critical exponent）必然是对数！

7. 进入复数世界

“虚数是这样可以像平常一样进行算术运算, 这些令人感到神秘的最后结果犹如其名, 真是既精致又不中用。” —— Gerolamo Cardano（1501-1576）

虚数（imaginary number）是意大利数学家 Cardano（1501-1576）在他的名著《大术》（Ars Magna）中首次引入的, 但是他却对这个新观念非常之犹豫。最早期的数学家解决这些奇怪的数所出现的困难, 例如 √(-2)√(-2)=-2＜0 , 基本上是驼鸟心态就是不理会它并加以非议和摈弃。直到高斯（Carl F. Gauss, 1777-1855）在他的博士论文证明代数基本定理：任何复系数一元 n 次多项式方程在复数域上至少有一根（n≥1）。并且指出一个复数 z=x+iy 就是平面上的一个点 (x,y) , 所以复数平面也称为高斯平面。但更重要的是高斯将整个数学观来个乾坤大挪移, 将数学的重心放在解的存在性与唯一性从此开启数学的新纪元, 摆脱文艺复兴以来多项式方程是否有根式解的纠葛。

最后我们必须提到复变函数论（Complex Function Theory）, 这对于完全理解函数特别是指数与对数函数是不可或缺的。在无悬念下函数最好的推广是借由（收敛的）无穷级数, 这基本上是 Lagrange 的思想。

定义 7.1 ：（复数指数函数）



定义 7.1 ：（复数指数函数）



定义 7.2 ：（复数双曲函数）



定义 7.3 ：



Dirac δ 函数并不是传统意义下的函数, 但我们并不能因此说它不存在。数学不能否定己知的事实, 因此解决之道就是回到数学的基础——函数是什么？对函数有更新、更高层次的认识是当务之急；为着与传统的函数有所区别我们将这种新的函数称为广义函数（generalized function）。广义函数是古典函数的推广, 它的数学理论基础是后来由苏联数学家S. L. Sobolev (1936) 与法国数学家 L. Schwartz（1950-1951）所建立, 其中 L. Schwartz 还因这项工作获得第二届 Fields 奖（1950）。尔后经过多人的努力, 目前广义函数己成为研究数学、物理甚至工程的必备工具, 没有广义函数则现代的偏微分方程与理论物理几乎是寸步难行。

致谢：

有一次与好朋友台大数学系陈宜良教授谈到大学教育时, 他有感而发的说：“大部分的人不知道了解、认识（understanding）是什么？”

的确是如此, 一个科目拿高分并不代表一个人真的了解该科目。男女朋友就算记得彼此的生日、血型...都不等于了解对方。因为这只是一种“客观事实”的知道、认识而已。现代教育最可悲的是失落了情感, 人们被教育的越来越无情。其实在旧约圣经里, “认识”的意思是指有亲密的知识, 正如亚当“认识”夏娃, 因而怀了他们的儿子（创四 1 ；和合本译为：亚当和夏娃“同房”）。真正了解、认识（understanding）不是人云亦云, 而是有信仰的成分是有行动力的。文艺复兴时期瑞士医生、哲学家派拉西所斯（Paracelsus, 1493-1541）这首著名的诗就说明了这个事实。（这首诗我是在《爱的艺术》佛洛姆着（新潮文库, 志文出版社）第一次看到。大学读了这本书之后就迷上佛洛姆。他另外两本书《逃避自由》与《自我的追寻》我也强力推荐。）

“一无所知的人, 就一无所爱。一事不做的人, 就一事不懂。一事不懂的人, 就一无所值。那能够懂得的人, 就能够爱, 能够关怀, 能够了解...。对于一件事情越有所知, 爱越大。认为一切果实都像草莓一样同时成熟的人, 对于葡萄一无所知。” —— (Paracelsus, 1493-1541)

参考文献

1. Carl B. Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover Publications；1st Edition edition, 1959. 中译本: 微积分概念发展史, 唐生译, 复旦大学出版社 (2011)。

2. R. Courant and H. Robbin, What is Mathematics？ An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd edition, with additional material by Ian Stewart, Oxford University Press, London, 1996。中译本: 数学是什么（上, 下） 容士毅译, 左岸文化出版（2011）。

大二时就有老师推荐这本书, 虽然买了（一直收藏在书架上）也看了一些章节, 但始终没有感觉。其实最好的读书方法是找几个志同道合的朋友组织读书会一起看这些稍微硬一点的书。这本书我最喜欢的是标尺作图与极大极小值这两章并以此为蓝图做过几次的通俗演讲。我个人的见解是只要看到 R. 库朗（R. Courant, 1888-1972）的书都应该收藏, 因为可以看到哥廷根伟大数学传统的背影。本书写作的背景正值新数学在美国兴盛之时, 数学越来越形式主义, 数学教学竟演变为空洞的解题训练, 为了抵抗这股逆流并有感于教师少得可怜的热情, 还有大量枯燥乏味、商业气息十足的教科书和无视智力的教学风气, 作者特别写了这本只需中学程度即可看懂的书来告诉人们《数学是什么？》虽然这本书可以看为通俗数学的书, 但我个人到现在仍不时拿起阅读并做为教学与写作的参考。

3. William Dunham, The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, Priceton, New Jersey, 2005. 中译本: 微积分的历程：从牛顿到勒贝格, 李伯民, 汪军, 张怀勇译, 人民邮电出版社, 2010。

这本书基本上按年代介绍了数学史上出现的重要函数。这些函数在数学发展的每个关键时刻扮演着不可取代的角色, 也帮助读者对于数学分析有更深刻的体会。对于这个作者的认识是由他早期的著作而来, Willaim Dunham , Journey Through Genius , the great theorems of mathematics , John Wiley & Sons, Inc., (1990), Penguin Books , 1991. （中译本: 天才之旅, 伟大数学定理之创立；林杰斌译； 牛顿出版股份有限公司, 1995）。这是一本我爱不释手的一本好书。大部分的数学史只有故事没有数学, 我觉得是非常不足的而且有掩耳盗铃之嫌。许多号称数学史家实际上对于数学的认知是有问题的。我心中理想的数学史家至少是 Willaim Dunham 这样的作家: 数学里面有故事, 而讲故事时是有数学内涵。

4. Lars Garding, Encounter with Mathematics, Springer-Verlag, New York, Inc, 1977. 中译本: 数学概观, 胡作玄译, 数学名著译丛, 科学出版社, 2001。

第一次知道这本书是 2009 年暑假在中研院数学所与李志豪教授一起负责数学营的微分方程, 李老师选择其中一部分作为学生的研读资料。后来在书店看到中译本毫不考虑就买了两本, 从此这本书就成为我教学与写作的重要参考书籍。Lars Garding 还有一本很好的书在此向读者强烈推荐"Some Points of Analysis and Their History", AMS University Lecture Series Vol.11, 1997.

5. E. Hairer and G. Wanner, Analysis by Its History, UTM Reading in Mathematics, Springer-Verlag, 1995.

早期的数学书籍倾向于形式化, 它们花在形式化证明上的篇幅过多, 以至于对于启发与思考是没有帮助的。Springer-Verlag 这一套《Reading inMathematics》 给大学部学生数学教科书非常优雅简练, 如果妳/你不喜欢定义、定理、证明这种无血、无泪、没有感情之三段式论证的书, 那么我肯定妳/你会喜欢这一套丛书。第一次看到就被书名所吸引, 经过详细阅读越来越喜欢, 之后这本书就一直是我教学与写作最重要的参考书。

6. 爱德华著。微积分的发展历史。凡异出版社, 2001。

7. I. M. Gelfand and M.Saul, Trigonometry, Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1999。

8. F. Klein, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint, Dover, 2004。中译本: 克莱因著, 高观点下的初等数学, Vol.1, 2, 3, 复旦大学出版社, 1989。

9. Eli Maor, e : The story of a number, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1994。中译本：毛起来说 e , 胡守仁译, 天下文化出版, 2000。

10. Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1998。中译本：毛起来说三角, 郑惟厚译, 天下文化出版, 2000。

11. Eli Maor, ToInfinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite, PrincetonUniversity Press, Princeton, New Jersey, 1998。中译本: 毛起来说无限, 曹亮吉译, 天下文化出版, 2014。

Eli Maor 的书是我每个学期教学要学生读书报告的参考书目, 他所有的书都值得详细阅读。我的目的很简单就是鼓励学生在大学期间培养良好的阅读习惯并喜欢上阅读。我们都是这个教育体制（更精确而言是这个肤浅文化）下的受害者, 连读书也是功利的考虑。阅读不会让我们发大财, 但一个不读书的民族绝对是没有未来的。

12. Barry Mazur, Imaginary Number, Farrar Strauss Giroux, New York, 2003.

13. Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of  √-1 , Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1998.

14. I.M. Yaglom, Felix Klein and Sophus Lie, Evolution of the Idea of Symmetry in the Nineteenth Century, Birkhauser, Boston and Basel, 1988. 中译本: 对称的观念在 19 世纪的演变: Klein 和 Lie, 赵振江译, 高等教育出版社, 2016。

15. 林琦焜。数, 十进制与 Cantor 集。数学传播季刊, 24(4), 76-86, 2000。

16. 林琦焜。棣美弗定理与 Euler 公式。数学传播季刊, 27(4), 3-23, 2003。

17. 蔡聪明。星空灿烂的数学 (I)(II) 托勒密如何编制弦表。数学传播季刊, 23(2), 57-67, 1999, 24(1), 43-55, 2000。

林琦焜 好玩的数学 2023-05-18 07:03 发表于江西