托勒密-欧拉定理的矢量代数证明

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托勒密-欧拉定理的矢量代数证明

作者 | 林开亮（西北农林科技大学理学院）、陈见柯（中国传媒大学数据科学与智能媒体学院）

来源 |《数学传播》2022 第 46 卷第 4 期 (184)，“好玩的数学”转载

在平面几何中有著名的托勒密定理 （以古希腊数学家、天文学家托勒密命名）：

定理 1 （托勒密定理）设四边形 ABCD 的四个顶点 A，B，C，D 共圆，则有

                                   AC × BD = AB × CD + AD × BC         （1）

它通常用文字描述为：圆内接四边形对角线的乘积等于两组对边的乘积之和。人们可以借助它得到三角函数正、余弦的加（减）法公式、毕达哥拉斯定理等一系列的三角恒等式 [8, p.83]。蔡聪明教授在 [3] 中分享了新的观察：作者分别从毕氏定理、三角函数加（减）法公式和余弦定理三个角度猜测托勒密发现定理 1 的过程，并发出这样的感慨：

对于（6）式 [笔者注：即本文的（1）式] 之猜测，我们可以提出证明，从而建立了定理 2 之托勒密定理。特别地，毕氏定理是托勒密定理的特例，但却是生出托勒密定理的种子。一般数学书都只将毕氏定理看成是托勒密定理的脚注，甚为可惜！

[4] 和 [5] 从多个角度讨论平面几何中若干基本定理的内在联系。给定半径为 60 的圆，托勒密通过三角函数的正余弦加（减）法公式完成了以圆心角 0.5° 的细密度做出从 0° 到 180° 的弦表 [2]，[8, pp.82-85]。托勒密定理的逆命题也成立：如果一个四边形的对角线的乘积等于两组对边的乘积之和，则该四边形内接于一个圆。一千多年以后，伟大的欧拉又重新发现、并推广了上述结果 [11, p.65]。

定理 2 （托勒密-欧拉定理） 若 A , B , C , D 是平面上四个点，则

                           AC × BD ≤ AB × CD + AD × BC         （2）

等式成立当且仅当 A , B , C , D 四点（依此顺序）共圆或共线。

时至今日，已有许多托勒密-欧拉定理的经典证明：基于相似三角形、Simson 直线 [10, pp.225-228]、反演变换 [11, pp.154-156] 和复数[1] 。为了本文的需要，我们给出基于反演变换和复数的证明。







这个结果目前至少有三个证明，Apostol [7] 和 Schoenberg [15] 给出的几何证明（将高维空间情形归结为平面情形），以及 Klamkin 和 Meir [14] 所指引的不依赖于空间维数的向量证明。回顾平面情形的两种证明，不难发现，基于反演变换的证明可以推广至高维情形（仅有的区别是，平面情形里，不过反演点的直线和过反演点的圆之间的互换，变成了高维情形里，不过反演点的平面和过反演点的球面的互换。Dieudonné 将定理 3 作为问题收录于 [9, 问题 6.2.4]，并给出基于单位球面上反演变换的提示。



就上述构造，我们给出两点补充说明：

（1）镜面反射是欧氏空间里一类常见的正交变换：给定单位向量 η ，镜面反射  将与 η 平行的向量反向，将与 η 垂直的矢量保持不动（即：在与 η 垂直的超平面上为恒等变换）。关于镜面反射的一个基本的结果是：给定欧氏空间中任意两个单位向量 α ，β ，正如证明中的构造，总存在一个镜面反射 S ，使得 S(α)=β 。（可参考[1])。另外，给定某线性变换，若其在某个超平面上为恒等变换，并将某个向量反向; 若再添加适当的条件，人们可以期待此线性变换就是镜面反射; 为此，一个基本的结果可见于 [13, 引理 9.1] 。

（2）定理 3 及其证明可以推广至一般的内积空间。

（3）1983 年，台湾中央研究院数学所的许振荣教授曾用了大量篇幅寻求托勒密不等式的三维推广的解析证明，但未得到满意的结果。在其文章 [6] 结尾，他写道：“到现在为止，笔者还未得到四点为一四面体之顶点时托勒密不等式的直接（即不利用关于在一平面上的四点的托勒密不等式的）且简单的解析证明。如果能得到这样的证明，相信必为相当有趣。“ 我们这个证明，可以看作是对许教授文章的一个回应。

注：

[1] 在我们能够查到的文献里, 尽管后续版本 (至少是从第三版) 的叙述略有不同, 哈代已经将基于复数的证明收录在其 1908 年、第一版的经典著作 [12, pp.102] 中。

[2] 若采用其它形式的三角不等式 (例如 A′B′ ≤ A′C′ + C′B′), 则可以得到相应的不等式表述 (例如 AB × CD ≤ AC × BD + AD × BC )；但它们均与定理 2 等价。

[3] 为了简化下面的讨论, 我们要求 S(z2-z4) 与 (z1-z2) 同向。事实上, 这里只需要 S(z3-z4) 与 (z1-z2) 线性相关。

参考文献

[1] 北京大学数学系前代数小组（编），王萼芳、石生明 （修订）。{高等代数} （第四版）。高等教育出版社，北京，2016。
[2] 蔡聪明。星空灿烂的数学（I）- 托勒密如何编制弦表？数学传播季刊，23（2），57-67，1999。
[3] 蔡聪明。星空灿烂的数学（II）- 托勒密定理。数学传播季刊，24（1），44-55，2000。
[4] 蔡聪明。五合一定理。数学传播季刊，41（4），60-68，2017。
[5] 连威翔。回响：托勒密定理的证明补充。数学传播季刊，43（2），80-83，2019。
[6] 许振荣。关于 Ptolemy 的定理。数学传播季刊，27，15-29，1983。
[7] T. M. Apostol, Ptolemy's inequality and the chordal metric, Mathematics Magazine, 40, 233-235, 1967.
[8] M. R. Cohen and I. E. Drabkin, A Source Book in Greek Science. Harvard University Press, 1948.
[9] J. Dieudonné, éléments D'analyse, Fondements de L'analyse Moderne (Tome I). Chez Academic Press, 1979.
[10] Euclid. The Thirteen Books of Euclid's Elements. Vol.2 (Books III-IX) (Translated by Heath T. L.), Cambridge University Press, Cambridge, 1908.
[11] L. S. Hahn, Complex Numbers and Geometry, The Mathematical Association of America, 1994.
[12] G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1908.
[13] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory (Third Printing, Revised), GTM 9. Spring-Verlag, 1980. 中译本 陈志杰（译）曹锡华（校）《李代数及其表示理论导引》 上海科学技术出版社，1981.
[14] M. S. Klamkin and A. Meir, Ptolemy's inequality, chordal metric, multiplicative metric. Pacific Journal of Mathematics, 101, 389-392, 1982.
[15] I. J. Schoenberg, On metric arcs of vanishing Menger curvature, Annals of Mathematics, 41, 715-726, 1940.

原创 林开亮 陈见柯 好玩的数学 2023-05-09 07:05 发表于江西