同调代数的起源和发展

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同调代数的起源和发展

编者按

本文是有些哲学意味的科普文章, 后来被收入《交换代数与同调代数》[第二版，李克正著， 科学出版社 (2017)]作为一个附录。

近来出现了不少关于同调代数或范畴论的科普文章, 这有助于公众了解较深刻的数学, 拓宽对于数学的眼界，是很有积极意义的。不过其中有些文章从“数学基础”的眼光讲范畴论, 或者只讲范畴的抽象性, 未免有失偏颇，甚至可能对公众造成误导。

自 19 世纪后期开始, 很多数学家致力于将整个数学建立在集合论的基础之上, 这看上去很美妙, 直到今天也还有人没有放弃这样的努力。但早年的集合概念是“朴素直观”, 却有根本性的漏洞。一般人觉得集合不需要定义直接接受就可以, 但 1902 年罗素给出的“集合论悖论”击溃了这个信念, 使数学家不得不建立集合的公理体系。从哲学上说, 一旦建立起集合的公理体系, 集合论就不可能作为整个数学的基础了。而 1930 年代哥德尔的工作, 更是使数学界认识到，任何建立整个数学的“基础”的企图都是愚蠢的。

不过迄今为止大多数数学学科是建立在集合论基础之上的。比集合更一般的概念是范畴, 但如上所说, 即使范畴论也不能作为整个数学的基础。

范畴是比集合更深的概念, 很多人只看到范畴比集合更抽象, 然而范畴是有结构的, 这种结构的发现源自拓扑学。同调代数中的一些非常抽象的概念, 本是为了解决具体问题的, 而其最主要的价值也正是在于解决具体问题。只看到范畴等概念的抽象性, 类似于“买椟还珠”。

本文力求通过对于分割与粘合, 局部与整体, 连续变形, 自然性等直观在数学中的科学刻画和精准处理, 解释同调代数的产生背景、所解决的具体问题以及其对于数学整体发展所起的作用。

撰文 | 李克正（首都师范大学特聘教授）

引言

20 世纪的数学与此前的数学相比，最显著的特点就是整体性。粗糙地说，20 世纪前的数学都是“局部的”数学，即使涉及整体的研究对象（如射影空间），也是采用局部的研究方法。研究整体性的根本方法是从拓扑学的建立开始的。而关于整体结构的研究，是在此前关于局部结构的研究已经相当成熟的基础上产生的。

同调代数源自拓扑学。最初同调的定义可以说是组合式的，后来发现同调还可以用其他方式定义，进而在其他领域（如微分几何）用相应领域的方法建立同调，就可以将同调解释为其他领域的不变量。这样同调的方法就逐渐渗透到很多其他学科，包括微分几何、代数、复分析与复几何、李群与李代数、代数数论、代数几何、表示论等，从而产生了很多种同调论，使同调成为数学中的一个重要工具。而这些互不相同的同调论又可以从统一的哲学观点去理解，这就产生了同调代数。在很多发展方向，同调的表现形式、相关结果和应用等离开拓扑学已经如此遥远，以至许多数学研究者在应用同调代数时，竟很难看到自己所采用的方法与拓扑学中的原始思想之间的联系。

本文希望通过对同调代数的起源和发展的观察，特别是从数学角度的理解，说明尽管现代同调代数的应用领域相互间相差甚远，应用形式千变万化，仍可以从其中的基本概念和方法追溯到拓扑学的原始思想。这些思想在今天应该说是数学中的（而不仅是某些数学分支中的）极为重要、基本而深刻的思想。

1  同调的起源

我们先来看看整体性和局部性的区别。

一个典型的例子是曲面的结构。例如球面和环面（图 1）的局部结构是一样的，如果在球面或环面上取一小块（如图 1 中的小圆片），它们的结构都等价于平面上的一小块；但球面和环面的整体结构是截然不同的，如果将球面想象为橡皮，可以随意拉伸变形，甚至还可以剪开翻个身再按原缝粘回去，那么不管怎样做这样的“拓扑变换”，也还是不能把球面变成环面。用拓扑学的术语说，就是球面与环面不“同胚”。由此可见，即使完全了解了局部结构，仍然可能对整体结构毫无所知。

那么，怎样才能说明球面与环面不同胚呢？应该说这是一个困难的问题。如同数学中的很多难题（如罗巴切夫斯基几何不矛盾；五次以上的代数方程没有一般的解法；连续统假设不能证明；方程 x^n+y^n=z^n 当 n＞2 时没有全非零的整数解；用圆规和直尺不能三等分任意角，等等）一样，我们不能将球面变为环面，并不是因为我们不够聪明，即使再聪明的人，也还是办不到。要说明这一点，一个基本的想法就是寻找“拓扑不变量”，就是找一种量，它在拓扑变换下不变。对于球面和环面，可以取它们的“亏格”，就是“洞”的个数：环面有 1 个洞，即亏格为 1 ，而球面的亏格为 0 ，由于亏格是拓扑不变量，这就说明球面与环面不同胚。


图 1

不过怎样才能定义亏格并说明它是拓扑不变量呢？最早拓扑学家（以庞加莱为代表的法国学派）建立的拓扑不变量是“组合式”的，他们将曲面分割成为小三角形，例如图 1 中的球面和环面可以分别像图 2 那样分割（左图中两段 AB 相同，两段 AC 相同；右图中两段 l 按箭头方向重合，两段 l' 按箭头方向重合）。三角形自然都是一样的，关键在于它们是如何相互“粘”起来的（哪两条边按什么方向粘起来），这样就把整体结构问题化为组合问题。


图 2

我们可以将图 2 理解为用 4 个三角形“覆盖”球面或环面，在覆盖中三角形的边有交迭。注意图 2 中的线段是有“定向”的，例如两段 l 只能按箭头所示的方向粘合，如果改变某些线段的定向，粘合起来将会得到不同的曲面。例如将图 2 中的线段定向改为如图 3 ，则粘合后的曲面分别为射影平面和克莱因瓶。


图 3

用这样的方法就将（拓扑意义下的）曲面转化为若干个三角形相互“粘合”所得的图形，称为“复形”（而三角形则称为单形），这样就将曲面的拓扑结构的研究转化为复形结构的研究。

由图 2 我们可以清楚地看到球面和环面的一个不同点：如果我们绕着正方形的边框逆时针地走一圈，对于球面就是沿一条路来回走一次，而对于环面则是先依次沿两个圈 α 和 β（见图 1）各走一圈，再依次沿两个圈反向各走一圈。注意圈 α 或 β 在环面上无论怎样移动，也不可能收缩为一个点，而球面上任何一个圈都可以收缩为一个点，这是球面和环面的一个根本区别。




图 4



2  奇异同调和同伦

在上节我们谈到，对一个曲面任意剖分，可以计算得到亏格 ，它在同构之下与剖分的选择无关。由随意的剖分可以得到确定的量，这真是一个奇妙的事实。但这一事实并不是在拓扑学产生后才发现的。早在 18 世纪，欧拉就发现每个多面体的顶点数 v ,棱数 e 和面数 f 满足关系式 v-e+f=2 。注意，这里所说的多面体，都是可以收缩到一个点的，所以其表面同胚于球面。用拓扑学的话说, 就是无论怎样将球面剖分为多边形，总的顶点数 v , 边数 e 和多边形数 f 满足欧拉公式 v-e+f=2 。但对于一般的紧致曲面 S 的剖分, 这一公式须改为 v-e+f=2-2g（这就是所谓“欧拉示性数”），其中 g 为 S 的亏格。

一般地，对于拓扑空间 X 的一个剖分，由 C 所得到的同调群都是 X 的拓扑不变量，但要证明这一点并不容易，因为剖分有很大的随意性，需要证明对于不同的剖分，所得的同调群都是一样的（严格地应该说是“典范同构”的）。




图 5



注意这里给出了一个并不简单的组合事实。

复形、同调和同伦的概念，后来都被推广到很多其他学科中。

3  覆盖和预层




图 6



4  上同调及其推广



5  同调代数的产生

同调代数约形成于 1940 年代中期，现在我们所能查到的最早文献是 S. Eilenberg 和 S. MacLane 的几篇奠基性的论文（见[3], [4], [5]）。我们来简略地看一下当时和后来建立的基本概念和方法。



由于拓扑学的一些基本思想和方法已经渗入几乎整个数学以及物理等其他学科，在今天不变量、不变性质等概念已经深入人心，这在同调代数上的一个表现是对“典范性”（等价于函子性或自然的）的深入理解和重视。例如，一个微分流形（或解析空间、概形等）上有很多层，但人们特别注意典范的层，如微分层，其重要性与其典范性密切相关。又例如, 对于一个诺特环上的有限生成模，菲廷理想具有典范性（参看[14], 习题 VI.6），而其重要性也是与其典范性密切相关的。

总之，同调代数的基本概念如范畴、函子、自然变换、函子的同调、抽象废话等都是很自然地产生的，它们给出了一个很宽广的框架, 可以应用于很多领域，给出不变量、不变性质、等价和约化的方法等（详见第 Ⅺ, Ⅻ, XIII 章）。还应指出，范畴虽然比集合在逻辑上高一个层次, 仍有更高层次的数学概念，如二范畴（two category）。

同调代数不仅给出强有力的数学工具，给出新的数学课题，而且使数学家从更高的视点观察和理解数学，形成新的哲学理念。

6  同调代数向各数学领域的渗透

同调代数逐渐渗透到数学的很多领域，其中有些领域与拓扑学相距甚远，以至很难看出其与拓扑学中同调的原始思想的联系。我们下面来看几个领域中的初步例子，希望由此说明，虽然有些领域看上去与拓扑学相距遥远，但从其中的同调仍能看到同调论原始思想的内核。

例 1. 纤维丛.




图 7

由于纤维丛也是局部平凡而整体不平凡的一类数学对象，很自然地可以应用同调的思想和方法来研究。简言之, 就是把纤维丛的结构归结为平凡纤维丛如何“粘”成整个纤维丛的问题，从而用一种同调来刻画。

构造纤维丛需要将平凡的纤维丛“粘”起来，但如同上节对流形所说的，纤维丛归根结底不是被“构造”出来的, 而只是被“发现”的，它们本来就存在于自然界。如果“粘”不起来，那就是有“障碍”，而障碍也是可以用同调来刻画的。



对流形上的向量丛的同构分类, 引导出一类同调论—— K-理论，这种理论后来又渗透到代数、数论等学科中，成为又一个强有力的工具。

例 2. 群的同调.



例 3. 德拉姆复形.



在上面的几个例子中，以及很多其他的情形，同调的计算常需要先选择一些不确定的量，而通过计算可由这些不确定的量得到确定的量，这是与以往的数学有显著区别的一个特点（以往的计算都是由确定的量计算确定的量）。

例 4. adele 环.



7  Grothendieck 建立的一般同调理论

前面我们已经看到，同调的概念和方法可以推广到很一般的范畴和函子。但是所得到的同调可能很抽象，常常需要花很大的工夫才能具体地理解。而且所得到的同调不变量能解决什么问题，能否满足我们的需要，也常常是个问题。

Grothendieck 对于拓扑学和同调代数有非常深刻的理解和洞察。在 1960 年代，他在代数几何中建立了一套一般的同调论框架，在这个框架中填入一种具体内容就得到一种同调，因此可以根据具体需要填入不同的内容而得到不同的同调理论。



自从 Grothendieck 建立一般同调理论的框架后，很多学者用它建立了不计其数的同调论，有时甚至仅为解决一个问题就建立一种同调。对于算术代数几何，后来起作用最大的新同调论是平展上同调和晶体上同调，它们的定义都颇不简单。

注意同调也具有典范性。一般意义上的同调，是“导出函子”（derived functor），其一般性质（结构）也是同调代数的研究课题。不仅如此，由这些结构还可得到“导出范畴”（derived category）的概念，近年来它已成为研究原范畴的一个新途径（例如通过研究一个空间 X 上的函数层范畴的导出范畴来研究函数层范畴, 并进而研究空间 α 的结构）。

Grothendieck 的一般同调理论框架也可以应用于其他学科，不过迄今为止主要是在代数几何中使用。若希望全面了解同调代数近年来的进展, 可参看[7]。

参考文献

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[4] S. Eilenberg & S. MacLane: Relations between homology and homotopy
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[5] S. Eilenberg & S. MacLane: Cohomology theory in abstract groups I, II.
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[13] J.-L. Koszul: Homologie et cohomologie des algèbres de Lie. Bull. Soc. Math.
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[14] 李克正: 《交换代数与同调代数》 第二版, 科学出版社 (2017).

[15] 李克正: 《群概形及其作用论》, 清华出版社 (2018).

[16] S. MacLane: Homology. Springer (1963).

[17] S. MacLane: Categories, GTM 5. Springer (1971).

[18] J.J. Rotman: Notes on Homological Algebra. Van Npstrand Reinhold
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[19] 周伯壎: 同调代数. 科学出版社 (1988).

原创 李克正 返朴 2023-04-14 08:46 发表于广东