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A-BCDE-F 为正八面体,ADE 面方程为 x+y+z=-4,BCF 面方程为 x+y+z=2,求正八面体体积

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发表于 2023-1-27 14:09 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wintex 于 2023-1-28 14:39 编辑

A-BCDE-F 为正八面体,ADE 面方程为 x+y+z=-4,BCF 面方程为 x+y+z=2,求正八面体体积

发表于 2023-1-27 21:26 | 显示全部楼层
题:A-BCDE-F 为正八面体,ADE 面方程为 x+y+z=-4,BCF 面方程为 x+y+z=2,求正八面体的体积。

思路:显然,ADE 面与BCF 面的距离d=2√3,即正八面体的外接正四面体的一棱中点到对面的距离。

设外接正四面体的棱长为2a,则由立几易算得a=3√2,2a=6√2,故正四面体的外接正方体的棱长为6。

故正方体的体积6∧3,外接正四面体的体积6∧3/3=72。

而四小正四面体的体积为4x27/3=36,从而,正八面体的体积为72-36=36。

注:本思路注意到了正方体有内接正四面体,而内接正四面体又有内接正八面体。正四面体有
性质:正四面体的体积是其外接正方体的体积的1/3。

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謝謝老師  发表于 2023-1-28 14:35
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发表于 2023-1-27 21:45 | 显示全部楼层
亦可参考提上来的帖子《正四面体的两个性质及应用》。
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发表于 2023-1-28 12:54 | 显示全部楼层


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111 歷中  发表于 2023-1-28 14:39
謝謝陸老師  发表于 2023-1-28 14:35
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