N,M 是正六边形 ABCDEF 对角线 CE,AC 上的两点，AM／AC=CN／CE=r ，B,M,N 共线，求 r

Future_maths

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听说是IMO试题中最简单的一道几何题。

Treenewbee

\[设AB=1\]
则\[AC=CE=\sqrt3,CN=\sqrt3*r,CM=\sqrt3*(1-r)\]
\[\alpha=\angle CNB=arctan(1/(\sqrt3r))\]
\[\frac{CN}{sin(\alpha+\pi/3)}=\frac{CM}{sin(\alpha)}\]

\[\frac{\sqrt3*r}{sin(\alpha+\pi/3)}=\frac{\sqrt3*(1-r)}{sin(\alpha)}\]

\[ r/(1 - r) =sin(\alpha+\pi/3)/sin(\alpha),tan\alpha= 1/(3 r^2)\]

\[r=\frac{\sqrt3}{3}\]

王守恩

\(记AC=CE=1,AM=CN=r,AB=BC=\frac{\sqrt{3}}{3},∠CNB=\alpha\)

\(\frac{AM}{\sin(30+\alpha)}=\frac{AB}{\sin(60+\alpha)}\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{3}\sin(30+\alpha)}{3\sin(60+\alpha)}\)

\(\frac{CN}{\cos(\alpha)}=\frac{BC}{\sin(\alpha)}\Rightarrow CN=\frac{\sqrt{3}\cos(\alpha)}{3\sin(\alpha)}\)

\(即:\sqrt{3}*r=\frac{\sin(30+\alpha)}{\sin(60+\alpha)}=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=1,r=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

王守恩

\(记AC=CE=1,AM=CN=r,AB=BC=\frac{\sqrt{3}}{3},∠CNB=\alpha,AC与BE的交点为G\)

\(△BCG,BM是角分线，\frac{\sin(\alpha-30)*(\sqrt{3}/6)*(1-r)}{\sin(90-\alpha)*(\sqrt{3}/3)*(r-1/2)}=1\)

\(△BCE,BN是角分线，\frac{\sin(\alpha-30)*(4\sqrt{3}/6)*(r)}{\sin(90-\alpha)*(\sqrt{3}/3)*(1-r)}=1\)

\(即:\frac{\sin(90-\alpha)}{\sin(\alpha-30)}=\frac{(\sqrt{3}/6)*(1-r)}{(\sqrt{3}/3)*(r-1/2)}=\frac{(4\sqrt{3}/6)*(r)}{(\sqrt{3}/3)*(1-r)},r=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

王守恩

角分线与梅氏定理是同事(各领风骚)。

\(记AC=CE=1,AM=CN=r,AB=BC=\frac{\sqrt{3}}{3},AC与BE的交点为G\)

\(1=\frac{BE*NC*MG}{BG*NE*MC}=\frac{(4\sqrt{3}/6)*(r)*(r-1/2)}{(\sqrt{3}/6)*(1-r)*(1-r)}=\frac{4*(r)*(r-1/2)}{1*(1-r)*(1-r)},r=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

王守恩

好题！谢谢Future_maths！！发人深思！！！

\(记∠CNB=\alpha,AC与BE的交点为G,AG=\sin(30)\)

\(AM=\frac{\tan(30)\sin(30+\alpha)}{\sin(60+\alpha)},CN=\frac{\tan(30)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\)

\(\frac{\tan(30)\sin(30+\alpha)}{\sin(60+\alpha)}=\frac{\tan(30)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\)

\(\alpha=45,NC=CB=BA=AM=\tan(30)\)

王守恩

好题！谢谢Future_maths！！发人深思！！！

\(\frac{CM}{CN}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(60+\alpha)},\frac{CM}{AM}=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(30+\alpha)}\)

王守恩

换个马甲。

B是正三角形ACE角平分线上一点，过B作直线MN，满足CM+CN=CA。