证明 Riemann（黎曼）函数在无理点上连续，在有理点上间断中的两个问题

wufaxian

《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文P128
问题见图中红字

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luyuanhong

因为 x=p/q∈[0,1] 是有理数，所以 p,q 都是非负整数。

由 R(x)=R(p/q)=1/q≥ε 可得 0≤p＜ｑ≤1/ε ，由于 ≤1/ε 的非负整数只有有限个，

可见这里的非负整数 p,q 只有有限个，因此满足 R(p/q)≥ε 的有理数 p/q 也只有有限个。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-11-27 08:29
因为 x=p/q∈[0,1] 是有理数，所以 p,q 都是非负整数。

由 R(x)=R(p/q)=1/q≥ε 可得 0≤p＜ｑ≤1/ε ， ...

谢谢lu老师讲解。
“ 由于 ≤1/ε 的非负整数只有有限个”
ε应该是任意小的非零实数吧，那1/ε就应该是一个很大的数。那么怎么会有“ ≤1/ε 的非负整数只有有限个”？应该是有无穷个才对啊！

liangchuxu

证明 Riemann（黎曼）函数在无理点上连续，在有理点上间断中的两个问题

luyuanhong

ε 是一个给定的小正数，比如说，可以令 ε=0.0001 ，这时 1/ε 是一个很大的数，

当 ε=0.0001 时，就有 1/ε=10000 ，尽管 1/ε 很大，但是 ≤1/ε 的非负整数还是

只有有限个，例如 ≤1/ε=10000 的非负整数就只有 0,1,2,…,10000 ，仍是有限个。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-11-27 19:19
ε 是一个给定的小正数，比如说，可以令 ε=0.0001 ，这时 1/ε 是一个很大的数，

当 =0.0001 时，就有  ...

在\(\forall\varepsilon\ \exists\xi\) 体系中\(\varepsilon\) 代表任意。那是否可以认为它就是一个无穷小的正实数呢？如果可以，那么\(\frac{1}{\varepsilon}\) 不就是无穷大？就像1/x 当 x->0 他的极限是多少？
按照上面的思路≤1/ε 正整数就应该是无限的。

我的思路基本就卡在这个地方了。