求证：lim(k→+∞)∑[n=1,2^(k-1)]1／(2^k+2n-1)=ln2／2

awei

\[k\in \mathbb{Z}^+,2^k到2^{k+1}之间2^{k-1}个连续奇数的倒数和为\omega，当 k 趋 于 无 穷 大 时，\omega的值会收敛于\frac{\ln(2) }{2}\]
\[ \lim_{k\rightarrow +\infty }\sum _{n=1}^{2^{k-1}} \frac{1}{2^k+2 n-1} =\frac{ \ln(2) }{2}\]

王守恩

(1): Table[ \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{2^{k+a}}\frac{2}{2^{k}+2n-1},\)  {a, -1, 8}]
{Log[2], Log[3], Log[5], Log[9], Log[17], Log[33], Log[65], Log[129], Log[257], Log[513]}

(2): Table[ \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{2^{k}}\frac{2}{2^{k-a}+2n-1},\)  {a, -1, 8}]
{Log[2], Log[3], Log[5], Log[9], Log[17], Log[33], Log[65], Log[129], Log[257], Log[513]}

(3): Table[ \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{2^{k+a}}\frac{2}{2^{k}+2n+1},\)  {a, -1, 8}]
{Log[2], Log[3], Log[5], Log[9], Log[17], Log[33], Log[65], Log[129], Log[257], Log[513]}

(4): Table[ \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{2^{k}}\frac{2}{2^{k-a}+2n+1},\)  {a, -1, 8}]
{Log[2], Log[3], Log[5], Log[9], Log[17], Log[33], Log[65], Log[129], Log[257], Log[513]}

(5): Table[ \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{2^{k+a}}\frac{2}{2^{k}+2n},\)  {a, -1, 8}]
{Log[2], Log[3], Log[5], Log[9], Log[17], Log[33], Log[65], Log[129], Log[257], Log[513]}

(6): Table[ \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{2^{k}}\frac{2}{2^{k-a}+2n},\)  {a, -1, 8}]
{Log[2], Log[3], Log[5], Log[9], Log[17], Log[33], Log[65], Log[129], Log[257], Log[513]}

(7): Table[ \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{2^{k+a}}\frac{1}{2^{k}+n},\)  {a, 0, 9}]
{Log[2], Log[3], Log[5], Log[9], Log[17], Log[33], Log[65], Log[129], Log[257], Log[513]}

(8): Table[ \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{2^{k}}\frac{1}{2^{k-a}+n},\)  {a, 0, 9}]
{Log[2], Log[3], Log[5], Log[9], Log[17], Log[33], Log[65], Log[129], Log[257], Log[513]}

(9): Table[ \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=k}^{(2^{a}+1)k}\frac{1}{n},\)  {a, 0, 9}]
{Log[2], Log[3], Log[5], Log[9], Log[17], Log[33], Log[65], Log[129], Log[257], Log[513]}

awei

王守恩 发表于 2022-11-25 13:53
(1): Table[ \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{2^{k+a}}\frac{2}{2^{k}+2n-1},\)  {a, -1, 8}] ...

要的是解题思路，不会就问，找灵感

elim

awei 发表于 2022-11-25 00:07
要的是解题思路，不会就问，找灵感

\(H_{2^{k+1}}-H_{2^k}=\omega_k+{\small\dfrac{1}{2^k+2}+\dfrac{1}{2^k+4}+\cdots+\dfrac{1}{2^{k+1}}}=\omega_k+2^{-1}(H_{2^k}-H_{2^{k-1}})\)
其中 \(H_n=\small\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\gamma_n+\ln n\:\small(\gamma_n\to 0.57721566…)\).

awei

elim 发表于 2022-11-25 18:08
\(H_{2^{k+1}}-H_{2^k}=\omega_k+{\small\dfrac{1}{2^k+2}+\dfrac{1}{2^k+4}+\cdots+\dfrac{1}{2^{k+1} ...

的确还是蛮有意思，谢谢e老师，我只是觉得好玩而已

elim

\(\omega_k=H_{2^{k+1}}-H_{2^k}-2^{-1}(H_{2^k}-H_{2^{k-1}})\to\frac{1}{2}\ln 2\;\small(k\to\infty)\)
\(\small\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{2^{k-1}}\frac{1}{2^k+2n-1}=\lim_{k\to\infty}\omega_k=\frac{\ln 2}{2}\)  没有上式很难．

awei

elim 发表于 2022-11-25 21:18
\(\omega_k=H_{2^{k+1}}-H_{2^k}-2^{-1}(H_{2^k}-H_{2^{k-1}})\to\frac{1}{2}\ln 2\;\small(k\to\infty)\)
...

就是很难的，电脑提示是用斐波那契倒数和，怎么求出来的，步骤看不懂，所以求助老师一起看看

awei

Ψ^(0)这个是什么函数呢？波函数，还是与斐波那契有关，不晓得查哪里

awei

Ψ（0）应该是双伽马函数吧，百度简直不忍直视

elim

\(\Psi\) 的定义前面应该有交待．