莫绍揆：谈谈怎样学习数学

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莫绍揆：谈谈怎样学习数学

数学经纬网 2022-09-27 22:30 发表于北京

文章转载自微信公众号：和乐数学

人物介绍

莫绍揆（1917 年 8 月 13 日- 2011 年 10 月 14 日），著名数学家，教授，我国数理逻辑教育和研究的开拓者之一。



他在大学时即对数理逻辑发生浓厚兴趣，自学罗素的《数学原理》。到瑞士留学后，随贝尔奈斯学数理逻辑，回国后主要工作亦在数理逻辑方面。莫绍揆在数学研究和数学教育的园地上辛勤耕耘了 50 余年，艰苦创业，成绩卓著，多项研究成果被载入一些国际著名的逻辑史专著中。


《数学年刊》编委第一次会议留影（前排左三为莫绍揆先生）

“怎样学习数学”? 这个问题太大了，极难于回答。至少作者自问没有能力来回答它。但是，这个问题又太重要了，很多初学数学的人都询问它，着急地等待着对它的回答，哪怕是部分地回答也罢。作者也问这个问题，也遇到人们提出类似的询问，也作过一些思考，也得到一些粗浅的体会。因此，我想根据自己的一些经验和粗浅的体会，就这个问题说几句。拉拉杂杂，毫无系统，也许很不正确，也许很不对题，只是供初学数学的人作个参考罢了。

我国从古相传有一句成语：“从大处着眼，从小处着手”，我觉得这句话对学习数学来说，是完全适用的。所谓“从大处着眼”，便是眼界要远大，要站得高，不要鼠目寸光，局守一隅。还要自信，要有攻坚的志气，有研究巨大问题、解决困难问题的决心。这也就是我国相沿下来的所谓立大志的精神。

但立大志绝不是目空一切、好高骛远，自高自大，而必须脚踏实地、埋头苦干、按部就班、一步一个脚印地苦学苦练。这便是从小处着手，也就是锲而不舍磨铁成针的精神。显然，这两点表面上看来是互相反对的，但实际上却是相辅相成、缺一不可的。

我们又常常议论博与专、泛读与精读的问题，这也是我们应该注意的。这也是两个表面看来相互矛盾，实际上也是相辅相成的。我国相沿下来的“由博返约”便是告诉我们一个答案，教我们怎样处理这对矛盾的。

所谓“由博返约”照我的理解便是：首先，博览，然后选择一些（或三两个）科目精研下去。这里的“首先”“然后”，只是大体上作阶段性的划分，并不是说每次都必须先博后约。

我们首先必须博览，尤其是对最新的发展趋向、最近的研究动态，必须经常注意，换句话说，我们必须对该学科的进展状况时刻理解，既使不能深研下去，也必须保持接触，不能闭目塞听，“两耳不闻窗外事”，那就脱离了学科进展的轨道，自甘落伍了。

但是我们绝不能够只限于知道一些消息，知道一些情况，而必须参加进去，必须就其中一些方向（至少一个方向)深入钴研，透彻理解其中一切细节，融汇贯通，加以发展，这样才能真正懂得这个方向，才能有所创新，有所贡献。

这里我想强调两点：

第一，反复学习、反复思考是非常必要的，这是“精读”的一个非常重要的内容。如果看一篇新文章，或者没有老师在旁指教的时候，只有反复学习才能把所学的内容学懂，只看一遍便懂的情况是非常少的。只有反复学习反复琢磨才能有所收获。其次，即使学懂了，对那些基本定理、证明极繁的定理，也必须反复学习反复琢磨，这样才能真正有所收获。可以说，求学问恰和交朋友一样，必须有频繁地接触交谈，才算是知心朋友，才算是知交。那些只见过一两面，说过一两句话的人，只能说是“面善”，或者是“点头之交”，算不得好朋友。一旦出了什么事情，只有知交才来帮助，至于点头之交呢，是不能指望的。同样，当我们作科研、遇上什么难题时，只有经过我们深钻、理解得透彻的部分（那些定理）才能供我们使用，帮助我们的忙，那些只见过一两面的定理或方法，是很难给我们驱使的。因此反复学习反复思考这一过程是非常重要，不能忽视的。

第二，必须打有准备的仗，不打无准备的仗。除去学习、理解以外，我们又必须动动手。在别的自然科学中，这是指实验或调查，在数学则指做习题或搞新题目。不管哪—种，在动手前，必须作好充分准备，切忌盲目动手。

试就作习题来说，在动手作习题之前，必须先把正课温习一遍，把有关的知识重新理解一遍，然后才作习题，这样如果作了出来，固然是已得学识的一次应用，可从应用过程中加深自己的理解。即使作不出来，一般也能知道问题所在，可以检查自己在哪一个“关口”通不过，然后就这个关口再重新复习一遍，这样逐步克服困难，逐步前进，不管最后这个习题是否作了出来，都对自己大有益处，都使自己对正课有进一步的深一层的理解。反之，如果不做准备，不先复习，为做习题而习题（只是为了老师要交习题，不能不做），动手便做，盲目乱撞，东拼西凑，即使偶然把题目做出来了，那只是碰巧，自己并未曾把所学到的知识拿来应用。如果作不出来，也不知问题出在什么地方，应该在什么地方想点子，而只是继续乱碰乱撞。结果，时间是花了不少，但对自己毫无收益。

至于搞科研，做新题目（前人未曾做过的新题目），充分的准备仍然是必要的。我们不反对这时采用“尝试”“试猜”“碰撞”的方式（西文叫做heuristical），东碰碰西试试，但在这之前仍必须做大量的准备工作。首先，必须仔细研读前人有关这个问题的成果，只有在前人已有的成果之上开始工作，才能有所前进，如果盲目地开始工作，势必重复前人的工作，徒然浪费时间与精力。其次，也必须详细考究与本题目有关的学科，哪些是与本题目某方面关系最密切，哪些是比较次要的。并且要订完大体的“作战计划”，有几个攻击方向，遇到怎样困难时该怎样克服或回避等等。我们不反对“试猜”，但对每一次试猜都要仔细检査其后果以及可能出现的意外情况，因此每一种试猜，除可能导致我们所希望的结果以外，还常常可以导出一些我们绝对不愿意出现的情况。如果及早注意到后者，那么很快便可以把这种试猜的假设排除了。

一般人，无论做习题或搞新题目，都喜欢题目一到手便乱碰试，忽视了准备工作，其结果往往事倍功半，收效不大。

另外，有很多初学的人对所谓难题有兴趣，例如，非常喜欢去搞“三等分一角（用圆规直尺）”，或者去搞费尔马最后定理,即“不可能有正整数 n,x,y,z 满足方程



或者哥德巴赫猜想：“任何大于 4 的偶数都可写成两个奇素数之和”，他们常常写出一些他们自认的“证明”，寄到杂志刊物去，要求刊登，或寄到一些数学工作者那里，要求代他们审阅。这常常引起杂志刊物编辑部的麻烦，或数学工作者的麻烦，打扰他们的日常工作的秩序了。无论怎样劝说他们都不愿意倾听。

这类所谓难题，实际上分两种：

第一种当时是难题，但目前已经解决了。例如，用圆规直尺来三等分一个角，在古希腊时代是一个难题，现在已经证明这是不可能的，因此这个问题已经解决了，解答是：“不可能。”既然已经知道解答，为什么还要继续去研究它?原来这些人受到以前“左”的思想的流毒，无视科学规律，“以前不可能的，在社会主义的今天便可能了”，或者“外国不可能的，在社会主义的中国都是可能了”等等。对这些受“左”的流毒的人，除向他们加强科学规律严肃性的教育外，还可对他们说，你在做你的伟大的研究之前，最好先把 √2 或 √3 表成分数，即先找分数 m/n ，使得 (m/n)^2=2 或 (m/n)^2=3 。如果你无法找出，那么对那些证明为不可能的问题便不必再搞下去了。

第二种直到目前仍是难题，仍是未解决的难题。对这种难题是应该探究的，但是正为上文所说，在探讨之前应该有充分的准备，我们反对打无准备的仗，例如，要研究费尔马大定理或哥德巴赫猜想，首先应该熟悉前人已获得的成果，前人已走过的道路，而这一般要专门从事数学（尤其是从事数学中数论这部分）的人才能做到，仅凭对自然数的一些粗浅知识，是无法总结前人已有的成果的。不总结前人的成果，单想凭乱碰乱试而解决有名的数学难题，这不是太过于天真了吗？

举个例说，在今天要想采矿，当然要依靠专业队伍从事普查、勘探，才能探明地下的矿藏，如果某处曾有一人偶尔发现露天矿藏，便以为只要自己东奔西跑，便可以赤手空拳地找出有开采价值的大矿藏，不是和上面提到的那些同样地天真吗？

总结起来，对于已经解决了的不可能问题，绝不应该再去研究它（把前提改变、结论改变，从而已变成了一个新问题的，当然不在此限）；对于尚未解决的难题，当然应该研究，但必须有充分的准备，包括必须熟悉前人已获得的成果。我们希望由从事数学工作的人来做，可以省却准备时间，但有兴趣的人来研究未尝不可，但必须作充分准备。

初学的人每每走极端，把很好的主张或办法推行到极端，结果反而误事。例如，当人们提到注重基础理论时，便整天泡在几本教科书中，整天做教科书上的习题，十多年下去，人也老了，一事无成了；当人们提到注重科研，应早日从事科研时，又不顾条件，不作准备，马上去读论文，第一篇勉强读完，还没有消化，又读第二篇，不到几年工夫，论文读了不少，但没有一篇是读透了的，所谓“人人面善，无一知交”，当自己从事一个题目的探讨时，竟然束手无策，那些“面善”而不是“知交”的朋友，没有一个出来帮忙。因此有一个大问题，对初学数学的人说来，该怎样做呢？是埋头于教科书拼命做习题呢，还是提早读论文开始搞科研呢？

问题在于，任何主张和办法，不能夸大到极端，而应保持一个适当的限度，基础的训练是必要的，但长期埋头于教科书便不对了；及早从事科研也是必要的。但基础训练不够，准备不够便不对了。如何适当地掌握两类的界限，这是随各人而异的，不能预先规定的，谁能够适当地根据自己的具体情况而掌握界限，谁的成功机会便大。

值得指出，所谓基础训练绝不限于无休止地做教科书里（或习题集中）的习题，这只是一方面的。更重要的是，对主要定理的证明（这一般是较为艰深的）反复钻研（以便加深理解)，并设法加以改动或改进。这是提高自己做题能力的一个良好办法。

主要定理牵连较多，证明一般也较繁杂，应该首先弄清证明的主要思路、主要步骤，这样才能加深对主要定理的理解。但这还不够，我们还应加以改动，使其主要思路更为突出，主要步骤更为清楚。然后再进一步改进，或使用更弱的前提，或推出更强的结论，或把使用高等数学工具的地方改掉，换上使用初等数学的工具等等。后面这些改进，实际上已经是获得一些新成果，如果这些新成果是别人不知道的，可以说已在科研道路上走了第一步，如果是一些意义不大的(因为别人认为不必提及）成果，至少也是走科研道路的一个良好开端，因此这种做法，既是理解主要定理的良好方法，也是走科研道路前的一个良好练兵，是值得提倡的。

这里所谓主要定理，是指教科书中的定理而言，教科书中的定理一般都经受了数百年的考察，要想改动或改进，一般是比较难的，如果初学者不能改动或改进，这是正常现象，不必强求，只要对主要定理反复琢磨，尝试改进便成了。曾经有人说过，你要学好数学分析，最好的办法是，自己写一本数学分析，他的话也正是我们上面所说的意思。因为动手写数学分析时，势必要对数学分析里的定理仔细分析，考虑各定理的证明的安排，没有这样细致的考虑，对数学分析是难于学得透的。

这种对已知的主要定理（比较艰深的定理）的证明加以改动或改进，其困难程度一般不亚于探讨著名难题，我们固然鼓励前者，是否我们也鼓励后者，鼓励大家经常去搞著名的未解决的难题呢？不，两者本质是不相同的。对已知主要定理的证明加以改动，与对未解决难题的探讨，两者的工作是截然不同的。前者比较易做，做了以后得到很好的训练，因此即使初学者也是可以做而且应该做的。但后者则不同，难度极大，要做的准备工作非常多，即使有了充分准备以后，如何下手也是很难预计的。因此对于没有充分准备的初学者，一般是不应该盲目从高的。两者本质不同，不应混淆。

在数学发展史中，始终贯串着几个矛盾。如果掌握好这几个矛盾，可以帮助我们更好地学习数学。这几个矛盾是，离散与连续的矛盾，以及有穷与无穷的矛盾，一般与特殊的矛盾。

我们不去定义这些名词，但大家都在直观上懂得这几对矛盾指的是什么。自然数是离散的，有理数虽到处稠密，但因为每个有理数都可表为两整数的商（亦可表示为两整数组成的数偶）；一般也看作离散的；直线上或曲线上的点是连续的，从而实数也是连续的（或说实数组成连续统），因此研究自然数与有理数的算术以及初等代数，便是离散数学的代表，而研究直线曲线的几何学，以及研究实数的数学分析，便是连续数学的代表。两种数学都是源远流长。但在古代，可以说偏于离散方面，哪怕是几何学，基本上也是用处理离散的方式来处理的（欧氏几何中的定理，几乎全部可以不用连续性公理而导出）。等到近代，微积分兴起了，发展成为数学分析这个分支，连续数学才突飞猛进，成为数学的主流，但数理逻辑、抽象代数等的发展，仍然主要是沿着离散的方向。尤其是第二次世界大战时电子计算机的出现，更使离散数学突出其重要性，要想把数学分析问题用电子计算机来计算，必须先作出近似公式，把实数用有理数逼近，把求极限求导数等运算化成加减乘除等有理运算才成，可以说，电子计算机不懂得连续数学，只懂得离散数学。由此可见，离散数学与连续数学无论就其发展来看，或就所处理的问题来看，都是既是互相反对，又是彼此相辅相成的，代表着数学的两大主流。

其次，有穷与无穷的问题，不但在哲学上引起巨大的激烈争论，在数学上也引起争论，而且影响到数学的发展。欧几里得的《几何原本》中关于比例论的讨论，实质上便是使用了无穷集合，只是表面上避开罢了。在古代，对数学家来说，“无穷”只是从否定方面着眼，“不是有穷”，“其个数没有上界”等等，这便是所谓潜在无穷论，把无穷集合看作生成中的东西，还未完成。但事实上，我们的确是有“完成了”的无穷集合，例如，直线段上的点集，便是无穷集。（无穷个点），而且是完成了的（已组成“线段”），不是生成中的（谁人把“线段”看作：今日添一个点，明日再添一个点，如此永远添下去，但始终未完成的东西呢？）正是因为线段是已完成的无穷点集合，因此在几何学上，不能不把点看作没有大小（即长度）而只有位置的东西。姑且不论没有大小的东西为何能占有位置，即就下列问题而言，亦是使人们迷惑不解的：

（1）没有长度即长度为 0 ，由长度为 0 的点聚集起来，怎能构成有长度的线段呢？

（2）极易证明（一般人亦极易相信)，任何两个有穷线段，其上的点都是一样多的，同样多的点怎样能够组成不同长度的线段呢？

如此等等，足见无穷的问题在数学中是不能不讨论的，是不能回避的。的确，康托尔的无穷集合论出现以后，一方面引起数学界的极大争论，另一方面也促使数学有极大的发展，这里我们不多做讨论了，只是顺便说一句，极限论的本质在于把所谓无穷小（以及其倒数无穷大）化归为有限数的数列，这是沿着潜在无穷论的方向而发展的，它很成功，解决了很多问题。但以为极限论出现了，无穷的问题也就解决了，无穷集合场可用潜在无穷论的观点来处理了，那都是不对的，因为还有很多有关无穷集合的问题是不能用极限论解决的。有穷与无穷的矛盾始终是数学上的一个大问题，始终是推进数学进展的一大动力。

现在再说一般与特殊。数学是抽象的，也是一般的。数学的定理可以应用于各种自然科学上，这便是它具有一般性的标志。尤其是自从公理方法盛行以后，数学界更力求普遍，力求一般。现在新的抽象系统越来越多，每一种新系统的出现，都或明言或暗示地说，它是最一般的系统，可以包括所有已知的数学系统作为其特例。有些人甚至于说，现在的数学界对于获得一条一条的特殊定理没有兴趣，而着眼在获得其有普遍性、一般性的定理。当然也有人出来反对这种趋向。

其实，所谓一般与特殊，多少是相对的而不是绝对的，在数学中尤其如此。例如下面两个等式：

(1) a·(k+c)=a·k+a·c

(2) (a+d)·(k+c)=a·k+a·c+d·k+d·c

到底谁是特例谁是一般呢？我们可以说，(1）是（2）的特例(当 d=0 时的特例)，但亦可以说，（2）是（1）的特例，因 a 可以代表任何项，而 a+d 是一个二项式，它是“项”的特例。例如，(s·t)·(k+c) ，便可以依照（1）而进行（用 s·t 代入 a 去)，却不能依照（2）而进行，因不是二项式。在数学中，互为特例的例子非常多，很难说谁该是一般，谁该是特例。目前提出很多新抽象系统，被说成是很一般的系统，其实在另一观点之下，它们却是已知系统的一个特例。由此可见，竭力追求一般之无谓了。

再举一个例子，试考虑数论函数（它把自然数变成自然数）与字函数（它把 An 上的字变成 An 上的字，所谓 An 指具 n 个字母的字母表）。

如果把自然数看作孤一字母表 A1 上的字，那么字函数是通例而数论函数是特例( n=1 时的特例)。如果把 An 上的字看作采用（无零） n 进制时自然数的表达式（所谓 n 进制数）,那么字函数讨论的只是使用（无零）n 进制数时数论函数的具体形式，而数论函数则是不牵涉到数制时数论函数的性质，显然数论函数是通例而字函数是特例。现在很多人采用前一观点，认为把数论函数推广而成字函数，其实采用后一观点更觉得自然而且能揭示问题的本质。不管采用哪个观点，这里至少表明了：通例与特例并非是一成不变的，从而拼命地追求“—般”将不是很好的方向。

其次，即使明确无疑地肯定了谁是一般，谁是特殊，我们也不能只研究一般而忽视特殊。因为“一般”总是比较抽象的，纯粹从“一般”立论，给人的印象总不够深刻，总难于理解透，如用具体例子（这是特殊）立论，至少举出具体例子，人们的理解便深刻了；其次，一般总是从特殊抽象而得的,是从特殊而来的。只有熟悉特殊，才能产生问题，才能给人指出新方向。不熟悉特殊而凭空从一般而立论，诚然是既简洁又漂亮，但却不能指出问题，不能指出问题的新方向。从物理天文等方面而引起的数学新问题新方法，其数量之多质量之高是人尽皆知的。如果当初不与自然科学挂钩，数学是难于发展成今天的样子的。

最后，即使你对“一般”熟悉了，但要运用到特例去，仍然是要费一番气力的。你如果对特例不熟悉，仍然无法运用。最具体的例子是，尽管在数学方面数学工作者比物理工作者熟悉得多，但应用数学来解决物理问题时，物理工作者都常常能够根据物理问题的性质而懂得该选用怎样的数学工具从而把问题解决，而数学工作者虽然熟悉各种各样的数学工具，如果对物理问题不清楚，往往无法选用适当工具，问题仍得不到解决。总之，把一般应用于特殊时，除懂得一般外，也应懂得特殊，强调一般而忽视特殊是不对的。

以上就数学有关的问题说了一些话，既无系统又没有什么新见，只供读者作参考而已。

本文转自：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/339074057

Future_maths

莫绍揆很长寿啊，活了94岁。