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【答】求方程组 x+y+z=3 ,x^3+y^3+z^3=x^4+y^4+z^4 的实数解

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发表于 2022-9-25 17:09 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-9-27 15:11 编辑

【方程组】日本数学竞赛,可否得到新解  

  \(          \begin{cases}          x+y+z=3    \\                        x^3+y^3+z^3=   x^4+y^4+z^4
  \end{cases}              \)

答案见图,非常中规中矩!



看看还有木有新奇之别解?

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发表于 2022-9-25 20:55 | 显示全部楼层
楼上的解答就已经是很好了。

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wo认为也很好,简洁至极!但我就是忽然想,会不会有其他奇巧的办法?  发表于 2022-9-25 21:46
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 楼主| 发表于 2022-9-25 21:47 | 显示全部楼层
如果有其他办法,
只要不是特别麻烦,
我觉得也是很好
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 楼主| 发表于 2022-9-25 23:26 | 显示全部楼层
朱明君 发表于 2022-9-25 21:53
x+y+Z=3,即x=1,y=1,Z=1,
因为1^n=1,所以X^3+y^3+Z^3=X^4+y^4十Z^4,


  朱老师,
你的方法很好!


就是直观法!一眼瞪出来,就像韦东义一样~~~
但是,充分性与严谨性,或许可以加强



本帖最后由 朱明君 于 2022-9-25 13:59 编辑


       \(          x+y+Z=3       \),即   \(    x=1,y=1,Z=1                      \)
因为       \(          1^n=1       \),所以       \(          X^3+y^3+Z^3=X^4+y^4十Z^4       \)
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 楼主| 发表于 2022-9-26 07:37 | 显示全部楼层
比如这种情况,举例:


\( z   \succ   x,y         \)
那么,\( x+y+z=3,    z \succ   1,    x,y  \prec   1                           \)


\( z^3          \) 比起\( z^4         \)  肯定增加比较慢,
但同时,  \(   x^3,y^3         \)两者“合起来” 减小得也比   \(    x^4,y ^4         \)来得慢
这样, \( x^3+y^3+z^3         \) 有可能等于\(x^4+y ^4+ z^4         \)  
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 楼主| 发表于 2022-9-26 07:39 | 显示全部楼层
还有这种情况

\( x+y+z=3,    z,x \succ   1,    y  \prec   1                           \)

\( x+y+z=3,    z,y \succ   1,    x  \prec   1                           \)
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 楼主| 发表于 2022-9-26 07:40 | 显示全部楼层
要把我上面说的两种情况排除掉
那么,就不失数学的严谨性啦
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发表于 2022-9-26 11:25 | 显示全部楼层

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祝福各位老师国庆节快乐!  发表于 2022-10-1 21:28
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发表于 2022-9-30 20:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-10-2 00:18 编辑

题:解不定方程组 x+y+z=3 ,x^3+y^3+z^3=x^4+y^4+z^4 。

思路:显然x,y和z中不可能全为非正整数,至多有两个为非正整数。据对称性,不妨考虑y和z

为非正整数或z为非正整数。

1,当y和z为非正整数时,则x为正整数,且x^3≤x^4,y^3<y^4,z^3<z^4

(若yz=0,则x^3+y^3<x^4+y^4,或x^3≤x^4[此时x=1,与x=3矛盾]),

故,x^3+y^3+z^3<x^4+y^4+z^4 。此时方程组无解。

2,当z为非正整数时,则x和y皆为正整数,且x^3≤x^4,y^3≤y^4,z^3<z^4,

(若z=0,则x^3+y^3≤x^4+y^4,此时仅当x=y=1时等号成立。这与x+y=3矛盾)。

故,x^3+y^3+z^3<x^4+y^4+z^4 。此时方程组无解。

3,当x,y和z均为正整数时,有x^3≤x^4,y^3≤y^4和z^3≤z^4,

即x^3+y^3+z^3≤x^4+y^4+z^4 ,显然,当且仅当x=y=z=1时等号成立,

且满足x+y+z=3 。故原方程组 仅一组解x=y=z=1。

注:本题与原题的提法有所不同。

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祝福各位老师国庆节快乐!  发表于 2022-10-1 21:27
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发表于 2022-9-30 21:07 | 显示全部楼层
10楼的解答是错的

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祝福各位老师国庆节快乐!  发表于 2022-10-1 21:27
就当没人点评好了  发表于 2022-10-1 10:01
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