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几个印度数学家与统计学家

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发表于 2022-9-13 00:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
几个印度数学家与统计学家

作者 | 康明昌

来源 |《数学传播》 2021 年第 45 卷第 3 期(179)

ISI(Indian Statistical Institute)1931 年和 P.C. Mahalanobis(1893~1972) 在加尔各答创立的。TIFR (Tata Institute of Fundamental Research) 则是由物理学家 Homi J. Bhabha (1909~1966) 在印度的金融中心孟买成立的。另一知名的学术机构 IISc (Indian Institute of Science) 早在 1909 年在邦加罗尔开办, 是 1930、1940 年代的印度少数几家有能力与有资源进行物理学研究的学校。

加尔各答(Calcutta)、孟买(Bombay)、邦加罗尔(Bangalore) (注1) 现在已改名为 Kolkata、Mumbai、Bengaluru 。

ISI 成立之初, 校方只提供一间工作室让 ISI 的人员使用, 至于运作经费与管理维修则由Mahalanobis 设法自行解决。从 ISI 走向世界的学者至少有两位, 一位是 C. R. Rao (1920~), 知名的统计学者, 2002 年美国National Medal of Science 的得主;另一位是数学家 S. R. S. Varadhan (1940~), Courant Institute 的教授, 知名的机率学者, 2007 年 Abel Prize 的得主。

Homi Bhabha 在 Cavendish 实验室工作, 他原本是 Paul Dirac (1902~1984) 的学生, 剑桥大学博士(1934 年)。Dirac 是诺贝尔物理奖 1933 年得主。

Bhabha 在 1940 年回印度度假, 却因二次大战的缘故, 无法回到英国工作。他只好留在 IISc 工作。他的运气不错, 他有一个杰出的博士班学生 Harish-Chandra (1923~1983)。Harish-Chandra 的学术兴趣其后从物理转向数学, 成为二十世纪半单李群无穷维表示论的大师[26],[20, p.532-534]。

Homi Bhabha 很早就认识核物理对于印度国防、经济与科学发展的重要性。他在 1940 年代初期向 Tata 基金会寻求财政支援(Sir Dorabji Tata Trust), 1945 年担任 TIFR 的所长。初始的目的是研究核物理与宇宙线。Bhabha 的远见之一是把数学也纳入他的研究所(School of Mathematics), 培育许多世界一流的数学家。

印度许多第一代的代数几何学者都是出身于 TIFR , 如:M. S. Narasimhan (1932~2021),C.S. Seshadri(1932~2020),S. Ramanan(1937~)。多复变函数的 Raghavan Narasimhan (1937~2015) 与代数群的 M. S. Raghunathan (1941~) 也都是在 TIFR 从助理研究员一路成长为教授和国际知名的学者。

1. Mahalanobis

Prasanta Chandra Mahalanobis(1893~1972) 是印度统计学之父。他把统计学的方法与应用引入印度, 创办 ISI (1931年) 与印度的第一本统计学期刊 Sankhya (1933 年), 培育许多统计学者(如:本文第 2 节出现的 C. R. Rao)。

Mahalanobis 出生在加尔各答一个富裕的婆罗门家庭, 1912 年在 Presidency College (Calcutta University) 物理系毕业。1913~1915 年到英国留学。

他原先的计划是到伦敦大学念书。开学之前, 他到剑桥大学(Cambridge University) 游览。King's College 华丽的教堂与精美的内饰使他大为震撼。在流连徘徊于剑桥的自然与人文景致之际, 他竟错过回伦敦的最后一班火车。

当晚他借住在剑桥友人的宿舍。朋友劝他:「你这么喜欢这里的建筑, 何不留下来在这里念书?」

第二天他到 King's College 面试。有意思的是, 他居然被录取。从此他留在剑桥大学(注2)。

1914 年他通过剑桥的毕业考(Mathematical Tripos, Part I), 1915 年他通过另一个毕业考(National Sciences Tripos, Part II), 完成剑桥大学的学业。他还获得一份奖学金, 准备跟随 C. T. R. Wilson (1869~1939, 大气电学) 教授继续攻读物理(于 Cavendish Laboratory)。

在进入 Cavendish 实验室之前, 他计划回印度短期度假(1915 年 7 月)。可是第一次世界大战已经爆发(1914 年 7 月), 船班不太稳定, 他只好在图书馆消磨时间, 等待船班。

这时他遇见 Macaulay 。Francis Macaulay (1862~1937) 是一位高中数学教师(St. Paul's School), 也是剑桥大学的 tutor (为剑桥学生补习以便参加 Mathematical Tripos)。

Macaulay 向他推荐一份刚装订好的期刊 Biometrika (注3)。Mahalanobis 浏览了几篇文章, 就决定购买一整套的 Biometrika, 从第一期到最近一期, 以便在船上阅读。

回到印度之后, Presidency College 邀请他到物理系任教, 因为有一位老师受征召入伍, 留下一些课程需要有人接手。Mahalanobis 答应帮忙。1916 年成为 Presidency College 物理系教师, 从此他再也没有回到 Cavendish 实验室。

Mahalanobis 认为统计学是一门新兴的科学领域, 从分析各种数据, 可以得到新的资讯, 提供决策参考。从1920 年代初期, Mahalanobis 把统计学应用到许多领域, 如:人类学、气象学、农学、经济学。他的物理实验室慢慢地有一些人对统计学产生兴趣, 有人戏称他们是统计实验室。

1931 年 12 月 17 日 ISI 成立, Mahalanobis 担任 ISI 的主任与秘书, 初期的 ISI 经费拮据, 只能聘请兼职人员与研习生(trainee)。1947 年印度独立,  ISI 才获得大量经费补助,  ISI 因此突飞猛进。
  
1959 年印度政府授予 ISI 一项殊荣:Institution of National Importance ,  ISI 不但经费充裕, 可以自行聘用教授、副教授, 还可以颁授学位(博士、硕士、学士)。

Mahalanobis 不是一个书斋型的学者, 他参与许多文化与社会活动, 他是印度政府第二个经济五年计划的起草人。他与印度各个政党的领袖都有极深的交情, Raman (1930 年诺贝尔物理奖得主) 曾这样描述 Mahalanobis:他永远知道面包的哪一面是涂上黄油的[3, p.27]。

2. C. R. Rao

Calyampudi Radhakrishna Rao (1920~) 是 ISI 培养出来的顶尖统计学者, 他协助 Mahalanobis 把 ISI 建立成卓越的统计学术机构。

C. R. Rao 出生在印度东南方滨海的地区 Andhra (约在马德拉斯北方)。他的父亲是个警官, 工作地点经常变换;他的母亲是传统的家庭主妇, 生养了十个小孩。他们在印度种姓制度下是属于第三种姓(注4)。

C. R. Rao 家的女孩是不受教育的, 男孩子由他的母亲管教上学。C. R. Rao 描述小时候他的母亲如何管教他们。每天早晨四点钟, 她总会把 C. R. Rao 唤醒, 点亮煤油灯督促他温习功课。

1940 年 C. R. Rao 以Andhra 大学数学系第一名的成绩毕业。他原先想继续念硕士学位, 却因申请文件没有及时送达而没有录取。

之后他参加公职考试, 结果也失败了。这时第二次世界大战已经爆发(1939 年), 英国军方在印度招募到北非工作的测量人员。C. R. Rao 千里迢迢地坐了 500 里的火车从南印度到印度北方的加尔各答。他因年龄不满 20 足岁(他是 9 月 10 日出生的) 不被录取。

在加尔各答旅馆有人告诉他 ISI 有一个统计实习生的训练计划。第二天他到 ISI 面试, 很幸运的, 他被录取了。

1941 年他考入加尔各答大学的统计研究所, 1943 年完成硕士学位, 随即被 ISI 聘用。

King's College (剑桥大学) 遗传学教授 R. A. Fisher 是 Mahalanobis 的好朋友。1946 年剑桥大学的人类学博物馆获得一批考古队发掘的人类骨骼, 他们需要有人帮忙分析鉴定。C. R. Rao 熟悉 D2-statistics (Mahalanobis distance) 的方法, 因此被派往 King's College 。

在博物馆工作之外, 他还到 Fisher 的遗传学实验室学习, 并修习博士课程。1948 年获得博士学位, 完成许多研究成果, 如:Cramer-Rao 不等式、Rao-Blackwell 定理、Rao's score test。

1948 年 C. R. Rao 回到 ISI , 1949 年升教授, 这时他才 29 岁。之后他负责 ISI 教学、研究、训练实习生的工作,  ISI 的名声蒸蒸日上。

Mahalanobis 与 C. R. Rao 的眼光并不局限于统计学。他们也愿意发展数学、资讯科学、经济学等相关领域。

在 1956~1963 年, C. R. Rao 有四个学生研究领域都是数学, 而不是统计。他们是:V. S. Varadarajan (1937~2019, UCLA 教授), K. R. Parthasarathy (1936~, ISI 教授), R. Ranga Rao (1935~, U. Illinois Chicago), S. R. S. Varadhan (1940~, Courant Institute 教授)。

他们的研究兴趣是机率、李群及其表示论。名义上 C. R. Rao 是他们博士论文的指导教授, 他对于这些领域其实所知有限, 但是他仍然鼓励这些学生听从内心的召唤, 追求他们喜爱的研究领域。见[7],[5],[24].

Varadarajan 于1957~1960 年在 ISI 就学, 他是李群与表示论的专家, 也是 Harish-Chandra 全集的编辑。Varadhan 在 ISI 的时间较晚(1959~1962年), 他是 2007 年 Abel 奖的得主。

印度的制度要求教授在年龄满 60 岁时退休, 因此 C. R. Rao 在 1979 年离开 ISI , 到美国匹兹堡大学任教, 1988 年 Penn. State U. in Pittsburgh 以讲座大学的头衔邀请 C. R. Rao 到 PSU in Pittsburgh 。

在美国工作了三十多年的 C. R. Rao 始终生气勃勃。2002 年他获颁 National Medal of Science , 现在是百岁人瑞。

3. Harish-Chandra (1923~1983)

Homi J. Bhabha (1909~1966) 来自孟买, 他的父亲是个律师。Bhabha 16 岁进入剑桥大学(Gonville and Caius College), 1930 年获得工程学士学位, 1934 年获得博士学位, 1934 年解释宇宙线的现象, 他把其中出现的基本粒子定名为 meson (注5)。

1941 年他被选为伦敦皇家学会会员(FRS), 1945 年创立 TIFR (见本文第一段), 1966 年死于空难。

Bhabha 在 1940 年回印度度假, 却因第二次世界大战(1939 年) 无法回英国工作, 这时 C. V. Raman (1930 年诺贝尔物理奖得主) 刚好是 IISc 物理系的系主任, 他劝Bhabha 留在 IISc 工作(物理系副教授)。就在 IISc , Harish-Chandra 成为Bhabha 的博士班学生。

Harish-Chandra 在坎普尔(Kanpur , 北印度的大城) 出生。1943 年他获得 Univ. of Allahabad 的物理硕士学位(注6), 主考官是 C. V. Raman;Raman 在考试后鼓励他到 IISc 念博士学位, 他因此成为 Bhabha 的学生。

由于 Bhabha 的推荐, 二次大战结束后不久, Harish-Chandra 也来到 Gonville and Caius College , 成为 Dirac 的学生, 1947 年获得物理学博士学位。

1947~1948 年 Harish-Chandra 跟随 Dirac 到 Princeton 访问(Institute for Advanced Study , IAS)。这时 C. Chevalley 与 Emil Artin 正好在 Princeton 大学教书。Harish-Chandra 旁听他们开的课, 他也从 Chevalley 那里学到李群与李代数 exceptional Lie group 的方法。

1944 年 Dirac 关于 Lorentz group (注7) 的文章发表(无穷维表示论)。很快的有三组数学家完成无穷维表示的分类:一组是 Harish-Chandra , 他还是个物理学家, 一组是 V. Bargmann , 他是 Princeton 大学理论物理教授, 另一组是前苏联的 I. M. Gelfand 与 M. A. Naimark ;Gelfand (1913~2009) 是 Kolmogrov 的学生 [12, p.23]。

Harish-Chandra 到 Princeton 之后, 才发现他的证明有许多漏洞, 他很懊恼地告诉 Dirac 。Dirac 冷淡地回应:「我对证明不感兴趣, 我只关心『自然的力量』(Nature) 在做什么。」 Harish-Chandra 觉得自己实在缺乏物理学家应该具备的神秘第六感(物理直观), 他应该从物理转向数学[16, p.203-204]。

1952~1953 年Harish-Chandra 到 TIFR 访问。Bhabha 似乎想挽留他在 TIFR 工作。几经考虑 Harish-Chandra 还是回到美国(Columbia 大学, 1950~1963;Princeton IAS, 1963~1983)。

由于 Harish-Chandra 在李群与李代数表示论的成果, 他获得美国数学会 1954 年的 Cole Prize (注8)。

Harish-Chandra 是 1958 年 Fields Medals 评选时强劲的候选人之一。他与 R. Thom (1923~2002) 被评选委员认为同属 Bourbaki 成员[13], 因此两个人之间只能有一个人能获颁 Fields Medal[16, p.213]。这次奖项最后颁给 Thom 与 K. F. Roth (1925~2015) (注9)。其实 Thom 并不是 Bourbaki 成员, 他只是 Henri Cartan 的学生;Harish-Chandra 不是 Chevalley 的学生, 他只是深受 Chevalley 影响的人, 而 Cartan 与 Chevalley 都是 Bourbaki 的创始成员[13]。

将近三十多年的研究生涯 Harish-Chandra 集中在半单李群与化约群(reductive groups) 的表示论, 由这些群产生的齐性空间(homogeneous spaces) 的调和分析理论(如:Plancherel formula)。

Harish-Chandra 的论文, 除了一篇与 A. Borel 合写的之外, 都是单一作者(single author), 可以说, 他单独建立他的表示论与调和分析的理论。

Harish-Chandra 喜欢简朴深入的思考。在 IISc 时, 他常常陪 Raman 散步。他与 Bhabha 的关系似乎比较疏远;Bhabha 来自富裕家庭, 具有精湛的艺术修养。在 Princeton 时, 他喜欢 Chevalley 与 Artin 的课, 对 Weyl 的课则不太欣赏。

Harish-Chandra 的名字本来叫做 Harishchandra 。有些印度人的名字并不区分 first name 与 last name (注10)。

为什么会有"-" (hyphen) 出现, 是因为他早期一篇物理论文的编辑加上去的, 他也欣然接受这个新的名字 Harish-Chandra 。因此她的女儿名叫 Premela Chandra 。

4. K. Chandrasekharan

Komaravolu Chandrasekharan (1920~2017, 本文简称他为 KC) 来自 Andhra 地区(第 2 节的 C. R. Rao 也来自这地区), 他在 Presidency College Madras 获得博士学位(1946), 指导教授是 K. Ananda Rau (1893~1966)。

Rau 比有名的 Ramanujan 年轻 6 岁, 但是境遇顺遂许多。他与 Ramanujan 在 Cambridge 认识, 两人成为好朋友。他是 G. H. Hardy 的学生, 回到印度后他任教于Presidency College Madras 。

Rau 有许多有名的学生:S. S. Pillai (1901~1950), S. Minakshisundaram (1913~1968) 与 KC 。

Pillai 的专长是数论与 Waring's problem[19, p.251]。1950 年他搭机到 Harvard 大学参加国际数学家大会, 飞机在埃及开罗坠毁身亡。

Minakshisundaram 是分析学家(PDE, Laplace operators), 他提出 heat equation 的方法, 影响了后来 Atiyah-Bott-Patodi 的工作[19, p.252]。

Minakshisundaram 后来成为巴基斯坦科学院的院长。

KC 在Princeton 高等研究院(IAS) 担任博士后研究助理, 其中有一年是 Weyl 的助理。他跟 Princeton 大学的教授 S. Bochner合作, 因此学到了多变数的 Fourier series 与 Fourier transforms 。此外他还认识许多有名的数学家, 如: C. L. Siegel 、A. Selberg 、von Neumann 。这几年的经验彻底地改变 KC 。KC 的研究专长是解析数论。

1949 年 Homi Bhabha 到 Princeton 访问, 邀请 KC 担任 TIFR 的教授, KC 邀请 Siegel 的学生K. G. Ramanathan (1920~1992) 一起到 TIFR 工作。

TIFR 在 1945 年成立时, Bhabha 只找到两个数学家: D. D. Kosambi 及 F. W. Levi , 但是数学所的工作并没有活络起来(注11)。

KC 不只是优秀的数学家, 他还擅长行政与组织工作。在 KC 与 Ramanathan 的领导之下, TIFR 才成为数学研究的卓越中心。
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5. 助理研究员形成的研究团队

1950 年代与 1960 年代的印度学制, 高中毕业后的大学教育需要五年, 前两年称为 Intermediate , 后三年称为 Honors (Mathematics Honor , Statistics Honor , Physics Honor)。以优异的成绩取得 Honors 学位的人通常被视为具有硕士学位的程度。

KC 与 Ramanathan 的眼光放在招募一批优秀的 Mathematics Honors 的毕业生, 他们进 TIFR 的目的是写博士论文, 因此形成一个新世代的研究团队。

他们进来的时候都只是助理研究员(博士班学生), 以后随着研究表现, 其待遇与职称也跟着提升。例如:M. S. Narasimhan 与 C. S. Seshadri 是同一年(1953 年) 进入 TIFR 当助理研究员, 后来逐步升到副教授(Reader) 与教授(Professor)。

Raghavan Narasimhan , S. Ramanan 与 C. P. Ramanujam 在1957年加入 TIFR (助理研究员)。注意, C. P. Ramanujam 与著名的 S. Ramanujan 姓氏字母的拼法相差一个字母。

1960 年代初期 R. Narasimhan 研究多复变函数论的 Levi's problem (Hartogs' inverse problem), 他推广了 Oka 与Remmert 的定理, 被邀请到 ICM Stockholm (1962 年) 演讲。

根据 R. Narasimhan 的回忆[19, p.256], 1950 年代 TIFR 助理研究员(博士班学生) 的士气非常高昂。「我们每天谈的都是数学。大家认为这是天下最至高无上的事。我们努力学习各种新的概念与新的方法」。

KC 运用他的人际关系聘请第一流的学者来讲学, 讲学的时间大约是两个月或更久。

Warren Ambrose (MIT 教授) 在1953 年到 TIFR 讲学。第一堂课上完, 学生纷纷表示不懂「拓扑空间」是什么。于是 Ambrose 花了三个小时讲了点集拓朴的基本事项, 然后证明 Haar measure 的存在性与 the spectral theorem , 最后证明 Peter-Weyl 定理[23]。

第二年 Samuel Eilenberg (哥伦比亚大学教授) 来教代数拓扑。他不着痕迹地采用 category 与 functor 的观点教代数拓扑, 而 category 与 functor 这些字眼完全没有在他的演讲出现。

接着(1955 年) Laurent Schwartz (1950 年 Fields 奖得主) 来开「复流形」的课, M. S. Narasimhan 负责为这门课做笔记。

KC 的构想是挑选一个学生为一个客座教授的演讲作笔记。学生不懂的地方当然要回去跟老师讨论厘清, 这些笔记都要公开发行。如此, 每个客座教授做完一系列的演讲, 至少有一个学生了解大部分的演讲内容。这是 KC 训练研究生的方法。

现在世界的知名大学都收藏 TIFR Lectures on Mathematics and Physics 。

M. S. Narasimhan (1932~2021) 与 C. S. Seshadri (1932~2020) 在同一年出生, 同一年进大学(Loyola College Madras), 同一年到 TIFR 当助理研究员(1953) 年。1956 年底, KC 把他们送到法国写博士论文(由法国提供奖学金), 他们在1960 年才回来。

Seshadri 在巴黎参加 Chevalley 研讨会, M. S. Narasimhan 的指导教授是 Schwartz 。

KC 从国际数学家联盟(IMU) 争取一笔经费, 每四年在 TIFR 办理一次会议(International Mathematics Colloquium), 从 1956 年开始, 主题是:

(*) zeta functions (1956年),

(*) function theory (1960年),

(*) differential analysis (1964年),

(*) algebraic geometry (1968年)。

这些会议变成 IMU 主办的仅次于 ICM (国际数学家大会) 的重要会议, 其会议论文集也变成该领域的重要参考文献。

1965 年 9 月 KC 离开 TIFR, 任教于瑞士的ETH (Zürich), 他留在瑞士直到 2017 年去世(注12)。Homi Bhabha 在 1966 年 1 月死于空难。

KC 为何离开 TIFR , 相信他与 Bhabha 有过严重的冲突。可是至今为止并没有可靠的资料足以说明内情(注13)。

6. Father Racine

Fr. C. Racine (1897~1976) 是个天主教耶稣会的神父。他参加第一次世界大战受伤, 因此左脚有点跛。1937 年他来到印度。1939 年起任教于 Loyola College Madras 。

他是 Elie Cartan 的学生(1934 年博士), 他与 Leray 、Weil 、Henri Cartan 、Delsarte [13] [14]是极为熟悉的朋友。他了解并且肯定他们这些人追求的数学方向。

Racine 在 1950 年代初期在 Madras 大学作过几场「Sheaf Theory」的演讲。想想看, 在 1950 年代初期全世界有几个大学能做这样的演讲? Racine 还替德国的期刊 Zentralblatt Math. 写过两篇关于 Leray 的 review articles 。

Racine 本人不从事数学研究, 可是他的数学视野却是宽广而深入的。当时印度数学界还笼罩在 Hardy 式的数学氛围(「summability(可和性)」等题材)。Weil 说:「Hardy 带坏许多印度数学家。但是 Ramanujan 太好了, Hardy 无法带坏他。」[20, p.529]。

Racine 本人喜欢在课余时间找学生聊天, 培养他们的数学品味(taste)。他告诉他们什么样的数学才是好的数学, 什么样的数学经得起咀嚼。

受 Racine 薰陶的学生日后都成为印度数学界的领导人物, 例如, 在上一节出现过的 Ramanathan , M. S. Narasimhan , C. S. Seshadri , Raghavan Narasimhan , C. P. Ramanujam 。

他引导这些学生去学习核心的数学领域, 鼓励他们参加 TIFR 助理研究员的甄试。他在 1940 年代就认识 KC 与 Ramanathan , 他知道他们在 TIFR 想要做一番什么样的事业。

Racine 在 1967 年退休回到法国。可是他在印度扎的根太深了, 他深爱这块土地。不久他重返 Loyola College Madras , 直到 1976 年去世。

7. 向量丛所形成的参模空间

M. S. Narasimhan 与 C. S. Seshadri 在向量丛参模空间(the moduli space of vector bundles) 的工作把拓扑的方法与代数几何的方法结合起来, 这个突破鼓舞 TIFR 许多人从事向量丛与代数几何的研究。



8. 早夭的英才

C. P. Ramanujam (1938~1974)、R. Narasimhan 与 S. Ramanan 都来自 Madras , 他们在 1957 年加入 TIFR 成为助理研究员(博士班学生), 这时 Ramanujam 才 19 岁(见本文第 5 节), 此后 R. Narasimhan 成为芝加哥大学教授, Ramanan 成为 TIFR 教授, Ramanujam 虽然成为 TIFR 教授, 却饱受精神分裂症(躁郁症?) 的折磨, 在 1974 年服用安眠药自杀。

Ramanujam 对于许多数学分支都有深刻的理解, 不管它是复杂的解析数论或是抽象的 Grothendieck 式的代数几何[19, p.257]。

Raghunathan 在 1960 年加入 TIFR , 他回忆说[20, p.543], 我们这些博士生从 Ramanujam 那里学到许多数学, 有些数学甚至远离他的研究领域。「我们直到深夜还在讨论数学。Ramanujam 除了数学之外, 还涉猎许多领域。」

Ramanujam 替一些知名的访问教授作演讲纪录, 如:M. Deuring (1958~1959 年),I. R. Shafarevich(1964 ~1965 , Minimal models),D. Mumford (1967~1968, Abelian varieties)。

1962 年 Ramanathan 引导 Ramanujam 从事 Waring problem 的研究, 他推广 Davenport 的方法。1964 年 Ramanujam 被诊断出严重的精神分裂症(schizophrenia)。此后十年就是病痛与研究交织的日子。病症来的时候, 他变得精神抑郁。病症去的时候, 他就有许多精采的研究成果。

1970~1971 年英国 Warwick 大学举办代数几何会议, 这时正好是 Ramanujam 病症消失的时期, 他主持两个很成功的研讨会:étale cohomology 与代数曲面的分类。在会议期间, 他跟 Mumford 讨论Kodaira vanishing theorem 的一种形式, 这就是有些人称为 Ramanujam vanishing theorem 的东西(注15)。

此外Ramanujam 另有一个有名的定理。他用拓扑的方法(contractible 与 simply connected at infinity) 刻画仿射平面 [18, p.636]。

Ramanujam 得病之后, 他搜集与这病症相关的许多文献, 并且仔细研读。最后他得到一个结论:这病痛是治不好的。他因此走上自杀之路。

Ramanujam 去世两年之后, TIFR 蒙受另一个损失。这次是 V. K. Patodi。

Vijay Kumar Patodi (1945~1976) 在1967 年加入 TIFR , 他的指导教授是 M. S. Narasimhan 与 S. Ramanan 。

在 1969 年底 Patodi 看到 McKean 与Singer 合写的一篇论文, 这篇论文用到 Minakshisundaram (见本文第 4 节开头, 他是 K. A. Rau 的学生之一) 关于紧致流形上 Laplace 算子的理论。这篇论文有一个尚未解决的猜想, 这个猜想的目的是想提供另一种证明 Gauss-Bonnet 定理的方法。Patodi 开始研究这个猜想。几个月后, 他解决这个猜想, 他的论文《Curvature and the eigenvalue of the Laplace operator》在 J. Differential Geometry 出现。Singer 邀请他到 MIT 访问, 他因此认识 Atiyah 与 Bott 。

Patodi 继续发展第一篇论文的方法, 他完成第二篇论文《An analytic proof of the Riemann-Roch-Hirzebruch theorem for Kohler manifolds》也在 J. Differential Geometry 刊登。1971 年他获得博士学位。

1971~1973 年他到 Princeton 高等研究院(IAS) 与 Atiyah 工作。Atiyah  、Bott  、Patodi 用 heat equation 的方法找到另一个 Atiyah-Singer Index Theorem 的证明(Invent. Math. 19 (1973) 279-330; ibid 28 (1975), 277-280)。

Patodi 是个耆那教徒(Jain), 要遵守严格的饮食戒律。1976 年他获升 TIFR 的教授。但是他的肾功能已衰竭到十分严重的情形。医生为他安排一个肾脏移植手术;手术还没进行, 他已病情恶化, 不治去世。

9. 展望

印度数学家没有人得过 Fields Medal , 但是有两位印度裔数学家得到 Fields Medal 。他们是 Bhargava (ICM 2014) 与 Venkatesh (ICM 2018)。

Manjul Bhargava (1974.8.8) 出生于加拿大一个印度家庭, 但是在美国长大(Long Island)。他的母亲是 Hofstra 大学的数学家。他在 Harvard University 念完大学(1996 年), 在 Princeton 大学取得博士学位(2001 年), 指导教授是 Andrew Wiles , 他是证明 Fermat 最后定理的有名数学家。Bhargava 现在是 Princeton 大学的教授。

Bhargava 的博士论文推广 Gauss 在二次型的合成方法(《Higher composition law》)。在 2015 年他与 Arul Shankar 证明 BSD 猜想(注16) 对于许多椭圆曲线是成立的。(椭圆曲线 E(A,B): y^2=x^3+Ax+B 是根据它的 height 编序的。) 见 Ann. Math. 181 (2015), 191-242; ibid. 181(2015), 587-621。Shankar 来自 Chennai (Madras), 是 Bhargava 的学生(2012 年 Princeton 大学博士)。

Bhargava 是 TIFR 的兼任教授。他的祖父 Purushottam Lal Bhargava 是知名的梵文学者(Sanskrit)。受祖父的影响 Bhargava 很喜欢梵语诗歌。

Akshay Venkatesh (1981.11.21) 出生于新德里(New Delhi)。他两岁时全家移民到澳大利亚。他的母亲是 Deakin 大学的 computer science 教授。他在 Princeton 大学完成博士论文(1988~2002 年), 指导教授是 Peter Sarnak。现在他是 Princeton 高等研究所(IAS) 的教授。

Venkatesh 的研究主题是把解析数论、homogeneous dynamics 、代数拓朴与表示论综合起来。

Venkatesh 的工作不但解决过去长期无法解决的一些问题, 他还领先探讨某几个数学领域过去不为人知的联系, 这为未来的数学家开辟一个更开阔的天地。

印度自从 1947 年独立之后, 政府挹注更多经费在科学研究。 ISI 因此迅速扩张, 现在 ISI 在印度各地至少有 10 个分支机构:ISI Kolkata, ISI New Delhi 等, 并且它还扩及其他领域。此外印度政府建立许多以训练工科学生为主的 Indian Institute of Technology, 如 IIT Mumbai , IIT Chennai 等。近年这些 IIT 聘请许多美国、欧洲获得博士学位的科学家与数学家, 使 IIT 从工科大学慢慢转型为综合性大学。印度的科学研究人力大幅提升。

但是学术水平的跃进需要领导者的远见与工作人员高昂的士气。印度数学界在 1950 年代挟印度独立建国之后的新锐之气, 加上 Homi Bhabha 、K. Chandrasekharan 的高瞻远瞩, 以及一批年轻学生(如:M. S.  Narasimhan 、C. S. Seshadri 、R. Narasimhan 、S. Ramanan 、Raghunathan 等) 的努力, 在短短二十年间建立国际闻名的数学中心。未来印度数学界能不能再造佳绩, 像是 1950~1970 年发展得那么迅猛, 则有待观察。

后记

印度知名的数学家有两个人本文没有介绍:S. Chowla (1907~1995) 与 S. S. Abhyankar (1930~2012)。Abhyankar 是 Purdue 大学的代数几何学者[8]。Chowla 的专长是数论, 是 1931 年 Cambridge 大学的博士, 随即回印度工作。1947 年印度与巴基斯坦分治, 由于 Chowla 在Lahore 工作, 而该地划归巴基斯坦, Chowla 全家只好逃回 Delhi , 再转往美国。Chowla 的事迹可见[2],[20, p.531],[19, p.243]。





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发表于 2022-9-13 21:13 | 显示全部楼层
1. Mahalanobis

Mahalanobis 认为统计学是一门新兴的科学领域, 从分析各种数据, 可以得到新的资讯, 提供决策参考。从1920 年代初期, Mahalanobis 把统计学应用到许多领域, 如:人类学、气象学、农学、经济学。他的物理实验室慢慢地有一些人对统计学产生兴趣, 有人戏称他们是统计实验室。
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“统计气象学”里有两个专题就是所谓的“分类分析”和“聚类分析”。其中的“Mahalanobis距离”也可认为是研究这两个专题的基架。随着计算机的蓬勃发展,“分类分析”和“聚类分析”等“统计气象学”里的一些方法也就演变成了更时髦的“人工智能”统计学方法(如“人脸识别”等)。后来再加上了“神经网络”的算法也就形成了现在又称之为“机器学习”的又一新学科。

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发表于 2022-9-14 02:43 | 显示全部楼层

列出一本现代“统计气象学”的经典教科书:


Wilks, D. S., 2006: Statistical Methods in the Atmospheric Sciences. Second Edition. Academic Press, New York, 627 pp.

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