设 -π／2≤θ≤π／2 ，求 cosθ+9／cosθ 的极值

wintex

請問數學

马奕琛

\(设f(x)=cosx+\dfrac {9}{cosx},则f'(x)=-sinx+\dfrac {9sinx}{cos^{2}x}\)
\(令f'(x)=0，解得sinx=0，或cosx=±3(舍去)，即x=0为f(x)极值点\)
\(令g(x)=f'(x),g'(0)=8,可知x=0为f'(x)的极小值点，故f(x)在[-\dfrac {π}{2}，\dfrac {π}{2}]上有极小值f(0)=10，而无极大值\)

luyuanhong

波斯猫猫

题：设 -π／2＜θ＜π／2 ，求 cosθ+9／cosθ 的极值。

思路：显然，cosθ＞0。当θ→±π／2时，9／cosθ→＋∞，故 cosθ+9／cosθ 无极大值。

然而，cosθ+9／cosθ =cosθ+1／cosθ +8／cosθ ≥2+8=10（仅当θ=0时等号成立），

即cosθ+9／cosθ ≥10。此时既是极小值也是最小值。

注：y=cosx+9／cosx(-π／2＜x＜π／2)是偶函数，图像似开口向上顶点为（0，10）且
夹在直线x=±π／2之间的抛物线。