3. 数论中一个著名的结果是,对于任意正整数 k ,k 到 2k(包括)之间总是有至少一个质数。这很难证明,但很容易证明 k 和 q 之间总是有一个质数 q = p1×p2×p3×…×pn + 1(包括),其中 p1,p2,p3,…,pn 是所有小于等于 k 的质数。证明它。
答案
如果 k 或 q 是质数,我们就证明完了。如果 q 不是质数,它是合数,也就是说它能被某个质数整除,但我们已经知道它不能被前 n 个质数整除。因此它必须能被一个大于前 n 个质数的质数整除;因为这些都是小于 k 的质数,所以这个质数一定大于 k ,但这个质数能除 q ,所以它一定小于 q ,所以 k 和 q 之间一定有一个质数。