数学之谜：奇怪的几何

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数学之谜：奇怪的几何

原创 DarkPhoenix 科学演绎法 2021-12-11 11:16

欧几里得几何

著名数学家欧几里德被认为是将几何公理化的第一人，是他描述了支配这个世界的几何规则，并且基于这些公理来证明定理——这是数学史上最早使用证明的情形之一。

欧几里得把这些内容都著写在《几何原本》一书中，虽然很可能是对他所处时代几何知识的总结，但依然是有史以来最有影响力的教科书，其逻辑、公理化的方法和严格的证明仍然是数学的基石。


▲ 欧几里得平面几何的五条公设

欧几里得对现代数学最显着的影响之一是对平行公设的讨论。在第一卷中，欧几里得列出了五个公设，其中第五条就是平行公设，叙述如下：

● 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

十九世纪，法国数学家阿德里安-马里·勒让德证明这一公设等价于如下表述：

● 三角形内角和等于两个直角。



对于平行公设，欧几里得描述得明显要比前四条复杂。在他之后的两千年里，许多专业和业余的数学家尝试证明第五公设可由前四条公设推理得到并都以失败告终。

第五公设成立的几何被称为“欧几里得几何”或“平面几何”，它的定义特征是三角形内角和总是 180° 。

荷兰著名版画艺术家知名艺术家埃舍尔(Escher)对几何尤为着迷。在下面的图片中，他描绘了一幅由天使与恶魔拼接而成的平面几何图案。



直到 1829 年，第五公设不成立而其余公设成立的几何例子最终才被俄罗斯数学家尼古拉·罗巴切夫斯基发现。事后再来看，数学家历经这么长时间才得出这一发现，忽略掉了一个常见到的例子。它就是球体表面的几何，称为“球面几何”。

球面几何


▲ 一个大圆将球体分成两个相等的半球，大圆线是连接球面上两点最短的路径所在的曲线(图自维基@jhbdel)

在球面几何(Spherical geometry)里，这里欧几里得的直线不再是“直线”，因为球面上两点之间的最短距离是在大圆(Great circle)上的一段弧。球体是曲面，这样三角形内角和总是 180° 这一结论不再成立，比如在球面上既是非常小的三角形的内角和也会略大于 180° (但局部区域按照平面欧几里得几何的定律还是很好的近似方法)，而更大的三角形会有更大于 180° 的内角和。


▲ 球面三角形的内角和不等于 180° (图自维基@Lars H. Rohwedder)

数学家花了很长时间才注意到关于球面的几何学，这是因为与地球的大小相比，人类实在是过于渺小。即便在地面上画一个大大的三角形，然后测量角度之和与 180° 几无偏差，以致于根本无法检测到。

现在你可能会问：是否还存在一种几何学，其中第五公设不成立，但其中三角形内角和小于 180° 。

答案是，有的。这就是所谓的双曲几何。

双曲几何

双曲几何不像球面几何一样容易想象，因为它不能在三维欧氏空间中无扭曲地建立模型。在双曲几何中，如同在球面几何里，欧几里得前四条公设成立，但第五公设不成立。但在双曲几何中，至少可以找到两条相异的直线，且都通过 P 点，并不与 R 相交(如下图所示)，因此它违反了平行公设。


▲ 通过 P 点且渐渐趋近 R（但不相交）的直线(图自维基 @Vladimir0987)

想象双曲几何的一个方式是庞加莱半平面模型。这个模型和“真正的”双曲空间之间的关系同平面地图和我们的球形世界之间的关系相似。例如，如果你沿直线从伦敦坐飞机到圣弗兰西斯科，然后在地图上画出你的路线，路线就不再是直线，因为地图扭曲了直线。（在标准“麦卡托投影法”映射下，接近极点处的距离被大大扭曲）在庞加莱半平面模型中，双曲平面被展平成一张欧几里得半平面。作为展平的一部分，双曲平面中的许多直线在模型中变成弯曲的。双曲平面中的直线在模型中变成垂直于半平面边界的直线或圆心在半平面边界上的圆。


▲ 双曲几何中的直线

随着越来越靠近半平面边界，距离变得越来越大，以至于只能靠近但永远无法到达边界。这样三角形是三条“直线”相交所得，并且如果你实验一下，你就会知道一个双曲三角形的内角和严格小于 180°。


▲ 三角形的内角之和小于 180°

还有其他方式在平面上建立双曲几何模型。其中之一是在一个圆上表示双曲平面，当你靠近圆周时，距离变得越来越大。下面埃舍尔的《圆极限 IV》(又称天堂和地狱) 1960 年 7 月完成的木刻版画，作品表达了对于庞加莱所描述的双曲空间的感受。



球面几何和双曲几何都是弯曲几何的例子，不像欧氏几何是平坦的。在球面几何中，曲率是正的，在双曲几何中，曲率为负。

弯曲空间

一个引起宇宙学家相当长时间兴趣的问题是，我们生活的宇宙是否是平的，在这个意义上，一个三角形的角度加起来总是 180° 。看起来确实是这样，但从历史上我们知道，这不一定是种正确的解释。爱因斯坦的相对论告诉我们重力引起空间局部弯曲。在如恒星这样的大质量物体周围，空间被扭曲。这可以通过光束在靠近这些物体时发生弯曲观察到。靠近黑洞的地方，扭曲如此之强以至于太靠近黑洞的光束被“吸进”其中无法逃脱。所以如果你想象用光束作为边来画三角形，除非你小心地选择你的位置远离大质量物体，否则无法保证内角和为 180° 。

宇宙的形状究竟怎样？自 1997 年的毫米波段气球观天计划开始的一连串宇宙微波背景辐射测量实验，目前科学家的观点是，事实上我们确实生活在一个平坦的宇宙中，或者说，如果有一个曲率，也是非常轻微的。

创组团队：编译：DarkPhoenix     校对:公理

参考来源：

https://plus.maths.org/content/m ... -strange-geometries
https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_geometry https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry