AB=60，AC=68，P∈AB，AP=50，R∈AC，AR=46，Q是BC中点，求正方形PQRS与ΔABC面积之比

popo987654

请问方法

tmduser

想到一种方法，但不知道还有没有更简便的方法。

luyuanhong

楼上 tmduser 的解答很好！已收藏。

ccmmjj

好厉害。@ tmduser

王守恩

tmduser 发表于 2022-6-21 22:02
想到一种方法，但不知道还有没有更简便的方法。

1,托勒密定理。\(\frac{正方形PQRS面积}{三角形ABC面积}=\frac{\big((50*22+10*46)/\sqrt{50^2+10^2}\ \big)^2}{\big(50*22+10*46)/\sqrt{50^2+10^2}\ \big)^2+50*10+22*46}=\frac{(50*22+10*46)^2}{(50*22+10*46)^2+(50*10+22*46)(50^2+10^2)}=\frac{13}{34}\)

2,\(记\cos∠BAC=x\)

\(50^2+46^2-2*50*46x=10^2+22^2+2*10*22x\ \ \ 解得x=\frac{4}{5}\)

\(即：\frac{正方形PQRS面积}{三角形ABC面积}=\frac{50^2+46^2-2*50*46*4/5}{60*68*3/5}=\frac{13}{34}\)

3,方程思想。

\(k=\frac{ x^2}{60*68 \sin(a + b)/2}\)

\( x^2 =10^2 + y^2 - 2*10 y\cos(a)=22^2 + y^2 - 2*22 y\cos(b)\)

\(  \frac{68}{\sin(a)}=\frac{ 60}{\sin(b)}=\frac{2 y}{\sin(a + b)}\)

Future_maths

用解析几何的方法可以很快解出来。

王会森

误删2楼，请再发一次。