神奇的费马与他的费马原理（中篇）

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神奇的费马与他的费马原理（中篇）

以下文章来源于简博士数据分析吧 ，作者 Janneil

欢迎回来，上期我们给大家介绍了费马原理的如何在凸优化和几何光学中发挥它的第一性原理的作用。这一期的数学漫谈我们聊一聊费马原理对于微积分里「中值定理」，是否可以发挥第一性原理的作用呢？

先回顾一个简化版的费马原理：



不客气地说，「费马原理是所有中值定理的第一性原理」，就让我们一起扒拉扒拉以前学过的那些中值定理吧！

壹  罗尔中值定理

1. 罗尔中值定理


米歇尔·罗尔（Michel Rolle，1652 年 4 月 21 日－1719 年 11 月 8 日），法国数学家




▲ y = sinx 的曲线

先来一起梳理一下「罗尔定理」的含义，我们关注的就是区间 [a,b] 之间的曲线，很明显，它是既没有间断点，也是光滑的，而且两端点处还具有同样的高度。

所以我们可以找到这个区间内恰好切线平行于 x 轴的点，比如点 C 。

2. 如何用费马原理来证明？



贰  拉格朗日中值定理

1. 拉格朗日中值定理


约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）法国著名数学家、物理学家

可以说，「拉格朗日中值定理是罗尔定理的升级版」，在关于 f 的假设前提中「去掉了两端点处函数值相等的条件」。







2. 拉格朗日中值定理有啥用



叁  柯西中值定理


柯西(Cauchy, 1789—1857)是法国数学家、物理学家、天文学家

在微积分的发展历程中，传承也发挥着巨大的作用。

1. 柯西的故事

柯西是我们刚才提到的拉格朗日的学生，有着十分罕见的数学才华。柯西的父亲是法国波旁王朝的官员，与一大波的数学家交好，比如拉格朗日、拉普拉斯等。

「拉格朗日发现柯西的数学根骨清奇，是位修习数学的天才」，就收其为徒。

不过拉格朗日曾有位朋友自小修习数学太用心太刻苦，竟然导致了英年早逝。拉格朗日很宝贝他的小徒弟，就特意叮嘱柯西的父亲：「你呀，一定要注意，在柯西 15 岁之前的时候，千万不要让他研究数学啊！以防有损他的身体健康」！

于是，小时候的柯西就在父亲的启蒙下学了许多关于语法、诗歌、历史、拉丁文、古希腊文等等。而且，柯西的确遗传了父亲在文学方面的天分，上学期间多次获得文学奖。

终于，柯西 17 岁左右时，在拉格朗日的引导下，正式开启数学科研之旅，这一开始就一发不可收拾，「单复变函数、分析基础、常微分方程等数学分支上都留有柯西的身影」。

2. 柯西中值定理



3. 柯西中值定理的几何意义

柯西中值定理的几何意义不太容易描述，我们看图说话。





4. 柯西中值定理有啥用



关于洛必达，小简忍不住要说上几句，这位可是用金钱创造名声的典范啊！作为一名王公贵族，洛必达是非常地酷爱数学，可是自身资质有限，于是他高薪聘请伯努利兄弟俩来教导他，并且还跟其中的弟弟约翰·伯努利发私信：「如果你有最新发现，不妨告诉我，我会多给你酬劳的。」 正巧约翰刚刚新婚，正是需要大量财力支持的时候，就毫不犹豫地答应了洛必达。

在约翰看来，洛必达不过就是先拿着这些新成果去他的那些贵族朋友那里去炫耀一番。可没想到，洛必达很有野心，他将这些内容都集结成册，出版了一本书 「《无穷小量分析》」。并且为了杜绝纠纷，他还特别注明：书中许多结果来自于约翰·伯努利和莱布尼兹，如果他们要来认领书中的结论，我悉听尊便。

吃人家嘴短，拿人家手短。这句古谚语的确是适用于古今中外。约翰因为拿了人家的金钱，自然不好意思去认领，但一直心有不甘。终于，在洛必达去世之后，约翰将与洛必达的往来书信贴出来，可是人们叫习惯的名称“「洛必达法则」”却永远改不过来了！





再来回归到最初「费马原理是中值定理的第一性原理吗」？你的答案是什么呢？欢迎在后台回复哦～