小学就会背的乘法表，还藏着这么多秘密？

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小学就会背的乘法表，还藏着这么多秘密？

撰文 | Tony Foster、Sai Venkatesh、Zoheir Barka、the Plus team

翻译 | C&C

审校 | zhenni

乘法表可以追溯到 4000 多年前的巴比伦人。最早的十进制的例子出现在大约公元前 300 年的中国，由竹简制作的乘法表可以计算小于 99.5 的整数和半整数的乘积；此外我们可辨认的还有大约公元 100 年时，尼可马库斯（Nichomachus）在他的《算术导论（Introduction to Arithmetic）》中提到的毕达哥拉斯表。


最早的十进位乘法表之一——《算表》，参见《战国时期的“大九九”计算工具——清华简《算表》》。出现在大约公元前 300 年的中国，用竹简构造而成。

如今在学校里，乘法表是学生们通过死记硬背和快速记忆练习来学习乘法的工具。虽然有些人认为掌握乘法表本身就是一种成就，但此外它还为学生打下了坚实的数学基础。让我们来深入研究一下，从一些有趣的视角来揭示隐藏在乘法表的奥秘。

三角形数

在解释什么是三角形数之前，让我们看看这个乘法表，以及我们可以用它来做什么。表中的第一行和第一列都包括了数字 1 到 10 ，而其他的方格中填充了所在行中的第一个数字与列中第一个数字的乘积。



我们在表格的顶部和左侧各添加一行/列 0 ，仍然是一个乘法表，只是便于我们看出下面的一些图案。



现在，我们把 2 的倍数（所有的偶数）对应的方格都涂上蓝色。这意味着，与 2 的倍数对应的所有行和列也都是蓝色的，这样我们就得到了一个蓝色的网格。不在这个蓝色网格中的方格都是白色的。(这里我们在水平方向和竖直方向将表格扩展到了数字 16 。)



现在，我们把所有 3 的倍数的方块都涂成蓝色。和前面一样，我们得到了一个蓝色的网格，其中的行、列均对应于3的倍数。中间剩余的四个白色方格组成了一个更大的正方形（2×2=4）:



如果我们把所有 4 的倍数的方块都涂成蓝色，同样可以得到一个蓝色的网格。在这种情况下，蓝色网格外的地方构成包含 3×3=9 个小方格的正方形，这些正方形并不完全是白色的，因为中间的方块是蓝色的。出现这种情况是因为 4 不是质数。



一般来说，如果你选择一个正整数 k 并且用蓝色表示乘法表中所有 k 的倍数，那么你会得到一个相应的蓝色网格，剩下的 (k-1)^2 个小方格会组成一个正方形。k 是否为质数决定了这些正方形是纯白色还是包含一些蓝色小方格。

这很有趣，我们换一个 k 。下图是我们从 k=6 得到的图案（你可以很容易地想象 k=5 的图案，因为 5 是质数）。



让我们看看三角形数如何出现在图中。三角形数是一种数字，它可以用一组点构成的图案来表示，这些点排列在一个等边三角形中，每边有相同数量、间距相同的点。

例如:


我们怎样才能在乘法表的方格里找到这些神奇的数字呢？首先，让我们再看一下乘法表，其中 3 的倍数对应的方格是蓝色的。（我们忽略了蓝色是 2 的倍数的乘法表，因为数学家们认为它是平庸的（trivial）：没有什么意思）。乘法表中 3 的倍数涂成蓝色之后的第一个白色方块是这样的:









平方数

在整数的海洋中，乘法表主对角线（从西北角到东南角）上的红色数字显然是平方数——整数的 2 次方。





分裂方格

如果深入研究乘法表中其他不同尺寸和位置的方格结构，我们可以找到更多的平方数。基于主对角线的方形格子似乎总能产生平方数，而这个平方数与所选方格共有的列指标与行指标之和密切相关。



平方的平方数和立方的平方数

基于这一知识，我们可以发现一些特殊的模式。例如，让我们来看看以连续奇数为行指标和列指标对应的行，你会很快发现连续奇数（从 1 开始）的和等于一个平方数。



因为连续奇数的和是一个平方数，那么连续奇数对应的行/列指标的和就是一个平方数。那么行/列指标的和的平方将是一个平方数的平方：即一个数字的四次方。因此，我们可以用这种特殊的格阵形式从乘法表中得到 4 次方的正整数。



数学老师总是在寻找新的方法来介绍乘法、指数和代数的概念。如果我们跳出思维定式，就会发现乘法表不仅仅是用来记忆乘法表的工具。如果我们选择潜入湛蓝的海水深处，我们将在她的海底发现许多数学宝藏。

本文转载自微信公众号“中科院物理所”。

原文链接：
https://plus.maths.org/content/powers-multiplication-table
https://plus.maths.org/content/triangular-patterns