用永动机不存在原理一招制“题”

luyuanhong

用永动机不存在原理一招制“题”

数学经纬网 2022-03-15 22:17



我们来研究一个任意多边形和它内部的一点 O 。从点 O 向多边形各边分别作垂线。这些垂线的垂足可能在边的本身上（例如图 1，在 AB 边上所作的垂线），也可能在边的延长线上（例如图 1 上 FA 和 EF 边上所作的垂线）。当然，也可能所有的垂线的垂足都在相应的边上（比如说，如果 O 是一个正多边形的中心）。试问所有的垂线的垂足都不在相应的边上、而在相应边的延长线上的情况，是不是可能发生呢？我们的回答是不可能的，也就是说，至少有一条垂线的垂足在相应的边上（而不在它的延长线上）。


图 1

为了证明这个命题，我们要利用不可能有永动机的原理。设想我们的多边形是一个重心在点 O 的薄片（譬如可以这样看：整个薄片是没有重量的，而在点 O 有一个点重物）。用一条棱当作底，把多边形竖立在水平的地板上。如果我们把它放得绝对竖直，那么它就不会倒下来；如果你喜欢的话，也可以把它想象做两旁有两条细杆子护住（图 2）。这时候多边形或者是停住不动，或者是发生滚动；如果它滚动，那么最后还是会停止的（不然的话，我们就得到了永动机）。在它停住的那个位置上，从重心向支持棱所作的垂线一定和这条棱相交（由命题 1 ：如果一个有支持面或支持棱的物体处在静止状态，那么从重心所作的竖直线一定和这个面或棱相交）。于是我们找到了多边形的这样一条边，从点 O 作这条边的垂线，垂足就在这条边本身上。


图 2

对于多面体来说，也有相似的定理成立。设已知一个凸多面体和它内部的一点 O 。从这点向多面体的各个界面作垂线。这时候，这些垂线中至少有一条的垂足是在界面本身上（而不是在界面的延展部分上）。

要证明这条定理，我们把多面体看作重心在 O 的物体上（譬如把整个多面体看作是没有重量的，而在点 O 有一个点重物）。现在以多面体的任意一个界面作底，把多面体放在水平的地板上。多面体或者是平衡的停住不动，或者要发生滚动；在后一种情形，它迟早总会停止下来，处在平衡状态的。因而多面体存在着这样的位置，在这个位置上它会停在地板上不动，我们来看支持住多面体的那个界面。由于上述命题 1 ，过点 O 在这个界面上所作的垂线一定通过这个界面本身。这样，我们就找到了满足定理中所提出的要求的那种界面。

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现实中不存在永动机的原因是由于存在摩擦效应。理想的数学模型可以剔除摩擦效应。这时，多变形或多面体便可不停地转动或摆动下去。也就是说，通过数学模型我们是完全可以构造永动机的。