我们来研究一个任意多边形和它内部的一点 O 。从点 O 向多边形各边分别作垂线。这些垂线的垂足可能在边的本身上(例如图 1,在 AB 边上所作的垂线),也可能在边的延长线上(例如图 1 上 FA 和 EF 边上所作的垂线)。当然,也可能所有的垂线的垂足都在相应的边上(比如说,如果 O 是一个正多边形的中心)。试问所有的垂线的垂足都不在相应的边上、而在相应边的延长线上的情况,是不是可能发生呢?我们的回答是不可能的,也就是说,至少有一条垂线的垂足在相应的边上(而不在它的延长线上)。
图 1
为了证明这个命题,我们要利用不可能有永动机的原理。设想我们的多边形是一个重心在点 O 的薄片(譬如可以这样看:整个薄片是没有重量的,而在点 O 有一个点重物)。用一条棱当作底,把多边形竖立在水平的地板上。如果我们把它放得绝对竖直,那么它就不会倒下来;如果你喜欢的话,也可以把它想象做两旁有两条细杆子护住(图 2)。这时候多边形或者是停住不动,或者是发生滚动;如果它滚动,那么最后还是会停止的(不然的话,我们就得到了永动机)。在它停住的那个位置上,从重心向支持棱所作的垂线一定和这条棱相交(由命题 1 :如果一个有支持面或支持棱的物体处在静止状态,那么从重心所作的竖直线一定和这个面或棱相交)。于是我们找到了多边形的这样一条边,从点 O 作这条边的垂线,垂足就在这条边本身上。
图 2
对于多面体来说,也有相似的定理成立。设已知一个凸多面体和它内部的一点 O 。从这点向多面体的各个界面作垂线。这时候,这些垂线中至少有一条的垂足是在界面本身上(而不是在界面的延展部分上)。
要证明这条定理,我们把多面体看作重心在 O 的物体上(譬如把整个多面体看作是没有重量的,而在点 O 有一个点重物)。现在以多面体的任意一个界面作底,把多面体放在水平的地板上。多面体或者是平衡的停住不动,或者要发生滚动;在后一种情形,它迟早总会停止下来,处在平衡状态的。因而多面体存在着这样的位置,在这个位置上它会停在地板上不动,我们来看支持住多面体的那个界面。由于上述命题 1 ,过点 O 在这个界面上所作的垂线一定通过这个界面本身。这样,我们就找到了满足定理中所提出的要求的那种界面。