学了这么多年的微积分，你学废了么？

luyuanhong

学了这么多年的微积分，你学废了么？

好玩的数学 2022-03-13 07:00

以下文章来源于图灵社区 ，作者高数上岸的

相信很多大一大二的同学们提到高数就发怵，简直就是“谈高数色变”。

高数挂科这一“普遍现象”也经常被调侃：

从前有一棵树，

这棵树的名字叫做高“树”，

树上挂了很多人……

微积分作为高等数学的基本分支，是建立在函数和极值的概念之上的，它的核心内容是“无限逼近”与“等效代替”两个方面，而“无限求和”则是其核心思想。

有同学要说了，微积分说白了无非就是极限、微分学、积分学及其应用。确实是这么个理，但是这简简单单的“应用”二字，却包含着无数的奥秘和难点。

微分思想（differential）

设函数 y = f(x) ，假设一点 Q 在横坐标上有变化量为 △x ，对应的 y 轴上的变化量即为 △y ，当 |△x| 趋近于无限小的时候，Q 点的切线在 y 轴上的变化量就会是 dy 与 △y 的差，这时候就可以在 Q 点的附近找到线性函数或线段来代替原函数。这就是微分思想，其主要目的就是简化复杂的问题，从而更加方便地解决问题。

积分思想（integral）

定积分：设函数 f (x) 在区间［a，b］上连续可积，定积分公式为：

此外，还有不定积分、二重积分、三重积分等表示方式，这些都是通过有限逼近无限的思想，可以解决现实生活中的实际问题。

说个简单易懂的，圆的面积公式我们早在小学就已经会背会用了

当时我们所接受的就是要牢牢记住它，解题套公式。今天给大家用微积分的思想来解释一下这个公式是怎么得到的！

首先，我们画一个圆



这个圆的半径为 R ，周长为 C ，根据圆周率的定义，

然后，我们把圆分成细小的扇形，然后让扇形上下交叉、相互交错排列。这样，我们就可以得到一个“平行四边形”。



当然，扇形的弧是弯曲的，所以形成的平行四边形也有些弯曲。但是，如果分割出更加细小的扇形，就几乎看不见弯曲的弧了，到了最后我们差不多就可以将弧看作直线段。通过无限分割出更小的扇形，平行四边形的精确度会大幅提升，那么拼起来就是一个严格的长方形了。因此求圆的面积也就转化为求这个长方形的面积了。

长方形的宽恰好等于圆的半径，长则等于圆周长的一半：

根据长方形的面积公式“长方形面积=长×宽”，我们就得到了圆的面积公式：

这样推导出来的圆面积公式是不是就很容易理解了，就是先无限分割，再对这无限多份求和。积分就是无限求和，求谁的和呢？是微分的和，所以微积分其实就是将不均匀变化的东西无限细分（微分），再无限求和（积分）。

再来看看微积分的发展

在古代，古希腊的泰勒斯便提出了微积分的思想，主要应用于对球的面积和体积相关问题的研究中。此外，三国时期我国数学家刘徽的割圆术，便应用了微积分的思想。

一直到17世纪，科学家在解决速度、曲线、切线、极值的时候，不断推动微积分的发展，笛卡尔发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》，后来牛顿在此基础上从物理学角度研究微积分，发表《求曲边形面积》等著作，提出了“流数术”。到19 世纪，柯西等一批科学家提出了极限定理；此后，维尔斯特拉斯将这一定理当作微积分的基础，微积分这一学科正式诞生并开始应用于各个领域 。

看到这里你可能想问：除了应对考试，微积分还有现实的用处么？

当然，难不成这东西发明出来是为了为难人类的么？你可以承认不会用，但不能说它没有用。

举个例子，排队在我们日常生活中随处可见，而相应的购票窗口的设立也不是想当然来的，微积分的数列极限中有一个夹逼定理，它应用在日常的购票排队中，能够有效地制定策略，确定建造多少购票窗口才能够满足日常的购票需求，以提升顾客的满意度。

在夹逼定理中，有三条与轴线垂直的直线，分别代表了三个与平面垂直的平面，从左到右依次为 M 、N、Q 。现在假设 N 为固定，则 M 和 Q 向着 N 无限逼近，在 M 和 Q 之间随意加入一个平面 Z，那么这个平面也是向着 N 无限逼近的，且无论其中增加多少个平面，都是向着固定值无限逼近的。在日常的排队中，假设随意增加的点为一个实际正在排队的自然人，那么无论这样的点有多少，都会被后面的点推到固定值，根据前后点的设定，既可以算出需要设置多少购票窗口才能够尽快实现购票的最优解，又是夹逼定理在解决问题中最直观有效的应用。

没想到普普通通的排队购票也蕴藏着微积分的奥秘！还有哪些是我们所忽略的呢？