量纲分析很难说是从何时开始的。Dimension 一词,1833 年泊松首先使用,在此之前用齐次性 homogeneity 。1822 年傅里叶明确表述,物理定律应与单位无关,写在其名著《热的解析理论》(Analytical Theory of Heat)中[1]。这导致一个重要结论:任何有意义的定律,对于每一个计量单位都必须是齐次方程式。很多科学大师如牛顿、欧拉和麦克斯韦等用量纲的概念处理问题。1871 年瑞利关于天空蓝色的解释和后来对风中绳弦发声的研究[2,3],1883 年雷诺关于雷诺数的工作,都是量纲分析的早期范例。量纲分析的正规形式为Π-定理:如果一个物理关系含有 n 个独立变数与 m 个基本量纲,则它可用 n-m 个无量纲量表示。利用物理定律的量纲平衡(齐次)原理可确定各物理量之间的关系,从而从定性到半定量至定量地解决问题。未查到中文“量纲”的起源,“量纲分析”在日文中称为“次元解析”。关于量纲分析的文献很多,无法一一列举,如中文书[4,5,6],最近又出了一本[7],布里奇曼的英文书[8]是经典,稍晚的可举[9],书中有丰富的文献和习题,还有[10]。
01 从一个故事和一个例子谈起
02 量纲分析的基本概念和方法
2.1 量纲制、量纲表示矢量、量纲表示矩阵和 Π-定理
2.2 量纲分析的步骤
量纲分析的步骤如下:
第 1 步,选择量纲制,列出问题所有的独立关键参量,设共有 n 个;
第 2 步,确定所有 n 个参量的量纲;
第 3 步,确定量纲表示矩阵的秩 m 。往往从 n 个变量中适当选取 m 个量纲独立的参考量纲量;
第 4 步,构造出 l=n-m 个不等价的无纲量 πj 。往往用 m 个参考量纲量,对余下的 l 个参量逐一构造无纲量;
[1] Fourier J B J. Analytical Theory of Heat. New York:Dover Pub.,1955
[2] 谈庆明. 量纲分析. 合肥:中国科技大学出版社,2007
[3] 孙博华. 量纲分析与Lie群. 北京:高等教育出版社,2016
[4] 赵凯华. 定性与半定量物理学. 北京:高等教育出版社,2007
[5] 梁灿彬,曹周健. 量纲理论与应用. 北京:科学出版社,2020
[6] Rayleigh J S W,Strutt B J W. The Theory of Sound. MacMillan,1877
[7] Rayleigh J S W. Nature,1915,95:66
[8] Bridgman P W. Dimensional Analysis,2nd ed. New Haven:Yale University Press,1931
[9] White F M. Fluid Mechanics,4th ed:Ch. 5 Dimensional Analysisand Similarity. McGraw-Hill College,1998
[10] Sonin A A. The Physical Basis of Dimensional Analysis,2nd Ed. Cambridge:MIT,2001. http://web.mit.edu/2.25/www/pdf/DA unified.pdf
[11] Buckingham E. Phys. Rev.,1914,4:345
[12] West S G 著,张培 译. 规模:复杂世界的简单法则.中信出版集团,2018