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趣味数学游戏:隐藏在生活中的超越数(上)
关于自然常数e的快乐谜题,难倒不少专业数学从业者,看看你能解决哪个?
撰文 | Pradeep Mutalik
编译 | 哪吒
图片来源:James Round/Quanta Magazine
π 是我们所熟悉的超越数,因为它无处不在,但是欧拉数 e 是如何超越普通数的呢?
在日常语言中,“transcendental”这个词指的是某件超乎寻常的事,是隐秘且难以理解的,具有近乎于魔法或神秘的力量。另一方面,在数学中,“transcendental”一词的含义较为平凡。它简单地描述了一类数——超越数——它们不可能是多项式方程的解,如 ax^3+bx^2+cx+d=0 ,其中系数 a, b, c, d 都是有理数,x 的最高次幂可以是任何正整数。正如伟大的数学家欧拉(Leonhard Euler)所说:“它们超越了代数方法的力量。”
然而,“transcendental”这个词的日常内涵对于两个最著名的超越数——普适常数π和e——来说是真实的。这两个数字确实神秘而强大,并表现出几乎魔法般的性质。它们在数学的许多分支中发挥着核心作用,在你最意想不到的时候出现在问题的解决方案中。在这两个数中,π 对我们大多数人来说要熟悉得多。每个学生都知道它的近似值,并在计算中使用过它。但另一个,欧拉数(自然常数)e 或 2.71828… ,相对来说人们就不太清楚了。事实上,查尔斯·厄米特 (Charles Hermite) 在 1873 年证明了 e 是第一个非构造的超越数。这里须明确指出“非构造”(non-constructed),因为在 1850 年,约瑟夫·刘维尔(Joseph Liouville)提供了第一个可证明的超越数的例子——但这个数是他为那个唯一目的而构造的,它并不是自然地出现在任何数学分支中。当然,这使得它与 e 有很大的不同,后者在数学中几乎无处不在。许多人知道 e 是自然对数的底,并且出现在复利和指数增长、衰减等理论中,但在这些领域中我们去计算时并没有明确遇到e。今天将讨论一些普普通通的问题,其中 e 会意外出现,使我们对它的普遍性有大概的了解。
像 π 和其他超越数一样,e 有一个无限的小数表示——它的数字无穷无尽,没有任何规律可循。即便如此,e 的前 15 位数字还是有一个好玩的规则模式,而且很容易记住,只需如下分组:2.7 1828 1828 45 90 45 。当然,这种规律性纯粹是巧合——其余的数字是完全随机的。但 e 有几个惊人的特性,使它在所有数中独一无二。在这一系列的谜题中,你将了解到其中的一些属性,有一些是经典的,当然,还有我自己添加的。欧拉数 e 会在它们中自然地出现,即使你只是模糊地理解 e 出现的原因,也能欣赏它们。这种 transcendental 显灵的确切细节就留给那些受过必要数学训练的人。看看谁能用最简单的方式表达这种联系。
这就是关于超越数的趣味内容。希望你喜欢解决这些谜题,也许可以了解一些你以前不知道的欧拉数 e 的神奇性质。
所以,令人费解的快乐谜题,这里祝愿你在超然冥想中实现“e-和谐”。
本文译自 Where Transcendental Numbers Hide in Everyday Math 原文链接:https://www.quantamagazine.org/w ... yday-math-20211027/ |
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