探秘中国古建筑的数学密码

luyuanhong

探秘中国古建筑的数学密码

作者 | 虞林军

在世界的历史长河中，就古建筑而言，最具有视觉美感的，毫无疑问是源远流长、绵延不绝的中国古建筑。建筑的美学可以体现在方方面面，比如造型、规模、材料、色彩、构造、细部雕琢等，在这些美学的原动力中，完全来源于人类智力活动的，唯有蕴含其中的数学密码：形状、比例、尺寸等。古希腊数学家毕达哥拉斯说过：万物皆数，数支配着宇宙；而大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知。

从一幅古画说起

这是宋代著名画家和书法家、宋徽宗赵佶的作品《瑞鹤图》，描绘了汴梁宣德门外仙鹤群舞的祥和气氛。除了仙鹤之外，画家采用工笔写实的画法、鸟瞰的视角，对建筑进行了细致的描摹，渲染层次分明、配景丰富多彩。从建筑设计者角度来看，这可视为一幅加盖红章的宋代建筑屋盖立面图。这幅画也被电视剧《大宋宫词》选作片头，展现了大宋建筑的风格特点。



画中描绘的庑殿顶建筑中，曲线优美的青瓦屋面，尺度和谐的鸱尾吻兽、造型舒展的飞檐斗栱，展示了中国古建筑特有的韵味。宋徽宗的瘦金体瘦硬刚劲、金钩铁划，揭示了书法的本质结构。当代建筑制图的仿宋字正是滥觞于宋。我们就从这幅画体现出来的建筑元素出发，来揭示蕴含其中的数学密码。

屋顶造型与最速降线

要全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，单从画作去了解是不够的，需要结合工程营造的历史资料和现存的古建筑实物进行更深入的剖析。我们主要选取现存宋代建筑代表作——晋祠圣母殿、宋代李诫（一说为李诚）所著的《营造法式》等古建资料作为研究对象。

作为整个建筑冠冕的屋面，建筑造型艺术发挥得淋漓尽致。我们的研究着重分析两个数据：屋面的圆心角A（°）、坡屋面高度半径 H /半坡宽度 W。




以上是晋祠圣母殿和《营造法式》中四个典型的屋面剖面图。从图中可以看到，五个屋面的圆心角分别为：29°、29°、30°、31°、34°，平均值为 30.6°；H/W 分别为：0.533、0.579、0.587、0.583、0.607，平均值为：0.578 。我对其它更多宫殿、厅堂的实物和资料进行了统计，基本数据类似。因此可以得到古建筑中屋顶的第一个数学密码：从檐口到屋脊，以圆弧拟合屋面曲线，得到圆心角基本在在 30°±2°；第二个数学密码：从檐口到屋脊，坡屋面高度半径 H /半坡宽度 W = 0.57±0.3 。这些数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑：包括庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶建筑，均宜参照这两个密码营造。

从对屋顶曲线进行数学拟合时，却发现圆弧的拟合度并非最佳。那么什么曲线的拟合度最好？经过对多个屋面曲线的模拟尝试，可以看出绿色的曲线是最佳的。这条曲线是摆线或旋轮线，也叫最速降线，就是在起点与终点确定并且忽略阻力的情形下，物体下滑所需时间最短的曲线。屋面除了审美需求，为了防止积水和渗漏，根本用途是期望能以最快的速度排水。最速降线的理论，是在 1696 年才由牛顿、伯努利等欧洲的数学家们整明白的，古代的中国工匠们不可能知晓，他们模拟的是圆弧，但是在配合举架的模数确定相关尺寸时，恰好拟合成了最速降线。同时，屋面曲线在檐口处的切线基本水平，使水流排出屋面后，以平抛的抛物线离开屋面，这不得不说又体现了工匠们的智慧。正是这种做法，保证了屋面不积水并且能够把雨水排到最远，以便更好地保护房屋的基础（地盘）。



我们以拟合屋面的数学方程的方式，表达对古代营造者的敬意。最速降线的参数方程：x = R(θ-sinθ), y = R(1-cosθ) 。平抛抛物线方程：x^2 = -2py（p>0, x≥0）我们得到了第三个数学密码：最速降线和平抛抛物线。

斗栱与三角不变形原理

杜牧用“廊腰缦回，檐牙高啄；各抱地势，钩心斗角”展现阿房宫的巍峨，欧阳修用“有亭翼然临于泉”描绘醉翁亭的飘逸。但是古建筑的屋面美则美矣，是否有不足之处呢？



我们看一下圣母殿的实景图和按材料力学绘制的弯矩图，并用现代数学的方法来做结构力学分析。从图上可以看到，外挑的屋檐的弯矩，与屋架内部的弯矩不协调，檐椽悬挑尺寸显然过大。由于檐椽的弯矩 M1 = qL1^2/2 , 上架椽的弯矩 M2 = qL2^2/10 ，L1 与 L2 大体相等（L1 甚至更大），那么弯矩比例达到 5 倍之多。这必然会导致两种可能：要么檐椽不安全，要么上架椽断面尺寸过大造成无谓的浪费。

从尺寸比例的协调性来说，减少檐口外挑尺度是削足适履，不可行。那么工匠们是如何来处理这个矛盾的？从材料性能和营造技术出发，他们给出的答案是—斗栱（或写作斗拱）。斗栱最初是作为檐椽下面的斜三角支撑，可以减少檐椽的外挑尺寸，从而减小弯矩，达到与上架椽基本协调的目的。五台山佛光寺东大殿是唐代遗存的实物，斗栱端庄质朴，以实用为要务，充分体现了作为结构受力构件的内涵，实现了力与美的统一。从数学上说，斗栱的整体形象类似三角形，符合三角不变形的几何原理。下图为梁思成先生的手绘图以及佛光寺东大殿现状斗栱照片。



斗栱起到出跳承檐的作用，支撑位置约在檐出的 0.6～0.7倍，檐椽的根部弯矩减少为原来的 1/5 左右，与上架椽弯矩的比例达到完美的 1:1 ，并且斗栱造型奇特、制作精巧，结构与装饰合二为一，给建筑增添了风采。这就是中国古建筑的第三个数学密码：不变形三角的斗栱支撑作用和 1:1 弯矩。

可惜唐代以降，斗栱在结构上起的作用越来越少，式样上却越来越繁复浮夸，几乎沦为了奢侈的雕饰。宋《营造法式》和清工部《清式营造则例》中，除了柱头铺作，更有补间铺作之类浪费材料的累赘，实属画蛇添足。

立面比例、柱子高径比与欧拉公式

立面是整个建筑的基本比例，从剖面图中更能看清楚这种关系。下图中的故宫太和殿和曲阜孔庙大成殿均为重檐庑殿顶，11 开间，黄瓦覆顶，是最高形制的殿堂建筑。





通过大量数据统计可以看出，古代殿堂建筑的立面尺寸比例大体上是固定的，重檐屋盖层：重檐斗栱层：副阶屋盖层：副阶斗栱层：柱框层 ≈ 18：4：7：3：8 ；单檐屋盖层：斗栱（铺作）层：柱框层 ≈ 35：7：20 ；这些比例是古建筑的第四个数学密码。

古建筑的正面柱子，是划分开间的标志物，也是最重要的竖向受力构件，在建筑中有着举足轻重的地位，并且长细比不仅影响柱子的承载能力，也直接奠定了建筑的美学基调。所以从数学的角度对此进行研究很有必要。

当代对柱子的受力分析，理论基础是欧拉公式。欧拉公式计算压杆失稳的临界应力，用于工程实践中时，以构件长细比为基准计算稳定系数，从而确定构件的承载能力。为了充分发挥柱子的承压能力，我们以稳定系数 0.95 为标准，确定柱子长细比为 36 ，对应的柱子高径比为 9:1 。实测统计数据表明，古建筑的柱子高径比在 10：1～7：1 之间，与现代数学计算结果不谋而合。看来九头身比例协调，不但受力合理，也符合古今大多数人的审美意识。古建筑的第五个数学密码：圆柱高径比（柱子高度：柱子直径）为 10：1～7：1 。



古建筑的柱子，实际作法是柱脚向外倾斜 1% 左右（侧脚），角柱高度高于平柱（角柱生起），这固然有美学和构造的要求，我个人觉得与数学（力学）的关系是一目了然的，因为从视觉效果来看，1% 的倾斜度显然不足以引起注意。古代工匠可能对于建筑抗震不会有太多的概念，但风荷载的作用的确是生活中的直接经验。经计算标明，数学上来说，在 x 值很小时，sinx ≈ tanx ≈ x ，可以计算出，在柱子的侧脚作用下，建筑提供的水平承载力与风力作用、地震作用基本相当，这应该是工程实践中得出的直接经验数据，同时角柱生起对抵抗水平力也能起到作用。古建筑的第六个数学密码：1% 的柱子侧脚和角柱生起。



受力梁高宽比与均值不等式

无论是宋代《营造法式》还是清工部《清式营造则例》，受力梁的宽高比固定在 2:1 。古建筑的主要受力构件梁椽、楼板、柱子都是木头，因此工匠只能因材而作。由于构件的拼接需要，梁通常做成矩形。梁是主要的水平受力构件，承载能力是首要考虑的问题。圆形的木头加工成矩形断面，怎样的比例承载力是最高的？工匠们确定的比例是否合适？现代数学上能找到依据吗？古书没有给出答案，我们尝试从数学计算和力学分析角度进行解密。

梁作为水平或斜向受弯构件，除了材料本身的特性，截面抵抗矩 W 是唯一的标准。矩形截面抵抗矩 W = BH^2/6，（其中 B 为垂直于弯矩作用方向的长度），木材本身的圆形直径 D 是确定的，就需要从数学角度来选择合适的高宽比 H：B 。





《营造法式》上说（梁高宽比）“系来自工作相传，并是经久可以引用之法”，是最接近完美的整数比，是古代劳动者在生产实践中总结出来的智慧结晶！这就是古建筑的第七个数学密码：受力梁高宽比 2:1 。

榫卯连接构造与立体几何

榫卯连接构造是中国古代一项伟大的技术创造，为世人所熟知。那么榫卯节点问题的实质是什么？我认为，榫卯节点是古建营造时一个很有意义的数学立体几何课题。这个题目需要解决：在三维的条件下，如何合理地制作三个杆件的榫头，使得在有限空间内，三向杆件均能有效咬合后达到最大的刚度，并且在正常使用状态下不松动、不脱榫？由于空间有限且固定，需要兼顾美观要求和现场施工拼合的可行性。这需要进过非常细致的设计，精心安排三个方向的榫头排布才能做到。



榫卯节点是复杂的构造，古代工匠在技术实践过程中，针对各种构件作出了完美的答卷，馒头榫、燕尾榫、箍头榫、透榫等，形式精巧，受力合理。有心者可以另查详细资料，本文不作太多的介绍。这是古建筑的第七个数学密码：榫卯连接构造的完美立体几何构造。

应当指出的是，榫卯构造由于受材料限制，是一种半刚性节点，会有一定的形变。为了控制使用中过大的变形，工匠们在营造中采取的第一道措施：使用各种形状的楔子来紧固节点。这是一种预应力配件，通过控制楔子角度，使得加大压力时增加的摩擦力大于压力的分力，达到自锁或互锁的效果，使节点处于承受预压的受力状态。燕尾榫则利用梯形下底边大于上底边来保证咬合不脱榫。



工匠们采取的第二个措施是，在梁柱节点使用雀替和牛腿。雀替和牛腿本质上是同一类古建构件，同时起到加强构造节点和建筑装饰的作用。它们都类似三角形支撑，利用了三角不变形的特点，限制节点的转动。江南建筑中的牛腿撑栱雕饰，淋漓尽致地发挥了圆雕、浮雕、透雕、镶嵌等技法，是东阳木雕中的精华之作。

古建装修与平面几何

古建室内外装修采用木头和砖瓦石等材料，并且与家具紧密结合。比如木门窗、栏杆、天花藻井、花罩、碧纱橱、博古架、砖瓦花窗、地面拼花等等，这些装修式样是图案的渊薮，平面几何中的线条、形状几乎无一遗漏。图案种类琳琅满目，工艺手法精彩纷呈。



古希腊柏拉图学院门口曾经立着一块牌子：“不懂几何者勿入”，凸显了几何在生产生活中的重要性，中国古建严格遵循了几何对称原则。工匠们在制作时普遍采用了对称、旋转、线条勾连、平面镶嵌、曲面辐射等手段，并结合覆色、彩画、雕刻、砌筑等传统工艺，形成独具特色的装修风格。这就是古建筑的第八个数学密码：平面几何图形的综合应用。

古代建筑设计与画法几何

古代房屋设计施工一体化，统筹营造者同时也是设计者。比如紫禁城设计师蒯祥，建筑设计世家“样式雷”等等。古代建筑设计者采用了一些与现代建筑设计不同的表达方式。

现代建筑设计采用的是绝对尺寸与模数制，图纸上注明绘图比例。而《营造法式》采用的是“材栔分”制，《清式营造则例》采用的是“斗口”制。这两种营造制度，直接以主材尺寸作为绘图基数，其它尺寸均为基数的倍数关系。这样一来，不同规制尺度的建筑，相当于用不同的比例尺对图纸进行放缩，模型或图纸就有了通用性。这是古建筑的第九个数学密码：“材栔分”制和“斗口”制的比例尺作用。

现代制图采用平立剖图、轴测图、透视图绘制，《营造法式》上为了表达清楚层层叠叠的斗栱关系，创造了一种特殊的绘图法：变角透视图。这是一种介于轴测图和透视图之间的绘图法，从技术上说，并不符合画法几何的数学投影关系，而是类似于现代广角摄影术。以此法绘制的图样，兼顾了实用性和可读性，这是一种务实的智慧。这是古建筑的第十个数学密码：变角透视法。



总结

按照奥多姆剃刀原理，如非必要，勿增实体。中国古建筑很好地贯彻了实用、自然、内敛的原则，美学与力学相得益彰，与数学上简洁、本真的要求不谋而合。相对而言，某些古文明建筑张扬浮夸、矫揉造作的格调，直到包豪斯主义的出现才有所收敛。

中国古建筑是集技术和艺术于一身的宝库。先贤们通过技术手段，很好地契合了现代数学和力学知识。本文对蕴含其中的数学密码的分析难免挂一漏万，期望能起到抛砖引玉的作用，更期待专才们的进一步发掘。虽然当代建筑风格、建筑材料、营造手段等与古时候相比有了根本性变革，但中国古建筑是先辈们筚路褴褛、栉风沐雨创造的劳动成果和智慧结晶，古建营造术蕴含了朴素的数学思想和哲学内涵，今人如能融会贯通并吸收应用，不啻为是对中国古建筑最具有时代意义的匠心传承。

作者简介：虞林军，1994年毕业于清华大学土木工程系，国家一级注册结构工程师，高级工程师。主持过数十项重大工程的建筑结构设计。在国家级刊物上发表过“预应力管桩作为抗拔桩的设计”、“软土地基基坑围护设计”等专业论著。