O(0,0),A(3,0),B(2,2),C(4,1)，P在圆心(3,1)、半径1的圆上。求PO+PA+PB+PC的最小值

fogking · 发表于 2021-12-2 23:53

http://www.mathchina.com/bbs/for ... hread&tid=64915
当我看到这个问题时，我想到了这个问题。
O(0,0)，A(3,0)，B(2,2)，C(4,1)，点P是圆心(3,1)，半径1的圆上。
你能找到使PO+PA+PB+PC最小化的P的位置和最小值吗？

FGNBGHJUOI · 发表于 2021-12-3 23:58

本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-12-4 06:25 编辑

感觉这道题：求PO+PB+PC+PA四条线段的最小值
比求两条线段最值的古堡朝圣问题还要复杂

1、一般的古堡朝圣问题是求两条线段之和的最值(两条线段的系数相等，不是阿氏圆）
   在半径延长之后的直线，平分两定点和一动点连线之间的夹角的条件下取最值；原理其实是光总是走最短的路程
   通解最值方程估计是一元三四次方程，有比较复杂的根式解

2、求PO+PB+PC+PA四条线段的最小值还不清楚在什么条件下取
   盲猜通解最值方程超过四次方程，没有准确的通过有限次的加减乘除运算方法来表达的根式解
   只有近似解，和复杂的复数解

波斯猫猫 · 发表于 2021-12-4 08:47

你能找到使PO+PA+PB+PC最小化的P的位置和最小值吗？
1，把圆用参数方程表出，即可列出四个距离之和的函数，但要求出最小值，难！
2，如果“PO+PA+PB+PC“表示的是四个向量之和的模，则极易求出最小值和P的位置。

波斯猫猫 · 发表于 2021-12-4 08:55

求在约束条件下的动点到四个定点的距离之和的最小值。

FGNBGHJUOI · 发表于 2021-12-4 20:14

本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-12-4 20:19 编辑

以下我找的例子，应该是最简单的特例，答案是好算的，有准确值的

因为该动态图是对称的，好算
如果改成\(AP\ne PE\ne EB\),可能就没有准确值了

fogking · 发表于 2021-12-4 20:41

谢谢大家！
我想我也许可以通过图形思维来解决这个问题，但这似乎是相当困难的．

FGNBGHJUOI · 发表于 2021-12-4 20:46

波斯猫猫发表于 2021-12-4 08:47
你能找到使PO+PA+PB+PC最小化的P的位置和最小值吗？
1，把圆用参数方程表出，即可列出四个距离之和的函数 ...

是的，四个向量之和的模好求，距离之和难求

Ysu2008 · 发表于 2021-12-5 19:06

本帖最后由 Ysu2008 于 2021-12-5 19:19 编辑

数值解：

——最小值点。

——最大值点。

FGNBGHJUOI · 发表于 2021-12-8 13:25

Ysu2008 发表于 2021-12-5 19:06
数值解：

大神好6！

Ysu2008 · 发表于 2021-12-8 15:51

FGNBGHJUOI 发表于 2021-12-8 13:25
大神好6！

凑个热闹，仅供参考。

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O(0,0),A(3,0),B(2,2),C(4,1)，P在圆心(3,1)、半径1的圆上。求PO+PA+PB+PC的最小值

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