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为“数学大统一理论”搭建桥梁的数学家

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发表于 2021-12-2 10:35 | 显示全部楼层 |阅读模式
为“数学大统一理论”搭建桥梁的数学家

数学的目的是并不是证明几个孤立结论,而是探索未知的逻辑关系。就这层意义上说,Langlands 纲领或许是近几十年来最重要的数学成果——即便它只是一些未经证实的猜想。

Langlands 纲领源于 1967 年加拿大裔美国数学家 Robert Langlands 写给著名法国数学家 André Weil 的一封信,在这封信中,他建立了表示论/自守形式与代数数论中 Galois 群的联系。如今,由此生出的数学理论已经涉及到数学的方方面面,甚至有几何 Langlands 纲领涉及物理学中的规范场论。让我们跟随女数学家 Ana Caraiani 的脚步,一窥数学的大一统理论。


Ana Caraiani,站在帝国理工学院附近的 Serpentine 桥上,从事数学研究,为该领域里遥远的分支架起桥梁。图片来源:Philipp Ammon/Quanta Magazine

采访者 | Steve Nadis
受访人 | Ana Caraiani(帝国理工学院教授)

翻译 | 张和持


Ana Caraiani 在普林斯顿大学的本科毕业论文由安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles) 指导。怀尔斯是一位著名数学家,1994 年,就是他证明了费马大定理。这位名声在外的学者交给学生的问题自然困难重重,而 Caraiani 并没有她导师当年的运气。不过,虽然并没有取得显著的进展,她也不曾气馁。

Caraiani说,"这个题目的重点不一定是解决这个问题。我认为怀尔斯在教我,不应该把所有的时间都花在你知道如何做的事情上。那些真正困难的问题值得花时间去解决,只是可能真的太难了。”

在做毕业论文的过程中,她学到了很多数学研究的方法。“你不可能总是按部就班地做数学。如果你卡在了问题的某个部分,就先别管它,去做其他部分。” Caraiani 后来进行了非常广泛的合作研究,目的是将数学的各个不同领域联系在一起,而做毕业论文的经验让她受益匪浅。她所从事的研究被称为 Langlands 纲领,由加拿大数学家 Robert Langlands 于上世纪 60 年代建立。这是当今数学界最为庞大,最富野心,同时也是最具挑战性的任务。

Caraiani 现在担任伦敦帝国理工学院教授,同时获得了皇家学会大学研究奖学金(URF)。她从来都不回避任何挑战。在罗马尼亚首都布加勒斯特长大的她,经常会遭遇与她自身能力无关的挫折。2001 年,作为一名高中生,她成为数十年来第一个有资格参加国际数学奥林匹克竞赛(IMO)的罗马尼亚女性,并在当年摘得一枚银牌,此后两年又连续摘得金牌。不过尽管获得了如此成功,她仍然感觉自己是不受欢迎的,也很少得到鼓励。

“有些人,包括举办大赛数学老师们,都让我不要抱太大期望,”她说。“而我想要证明他们都错了。”

Caraiani 对 Quanta 杂志讲述了她追求数学的经历以及研究 Langlands 纲领的工作,而后者可以理解为“通向数学大一统理论之路”。为了让文章更加清晰,我们对采访内容进行了压缩与编辑。


Caraiani 致力于当今最雄心勃勃的数学项目之一,即 Langlands 计划。这是一项高度协作的努力,她经常与帝国理工学院的同事在 Dalby Court 会面。图片来源:Philipp Ammon/Quanta Magazine

你闯进男性主导的 IMO 之后,情况有没有发生转变?

当时我在高中从来不被人看好,而如今学校的女生会得到很多鼓励。不过即便如此,我还是看到自己身边的人遭受隐晦的歧视。如果别人都视你为异类,那么要开展研究或是建立长期合作关系就会困难重重。而且你很难被认真对待,每次都必须得证明自己的能力。

我意识到,其实相比大多数同行,我一直很幸运,现在也已是小有名气。不过我还是觉得,数学界并不像它应有的那么包容——不仅仅是对于女性,对其他弱势群体也是一样的。在我研究的领域中更是这样,Langlands 纲领的研究需要大量专业知识,就连入门也存在巨大的障碍。

我只能尽自己所能帮助他人,一起探索这一惊人的领域,不过我觉得还是不够。我努力为女性,以及其他弱势群体提供生存空间,争取会议席位,让她们参加我的研究小组。我很高兴自己的研究小组中女性占比高于平均水平。

是什么吸引你来到这个惊人领域的?

我 2007 年从普林斯顿大学毕业,那时怀尔斯鼓励我去哈佛大学深造,那样我可以跟 Richard Taylor学习——他对费马大定理的证明做出了关键贡献。而我之所以做 Langlands 纲领正是随的他。

不过对于我来说,还有更深层次的吸引力。Langlands 纲领是要旨,从本质上说是给数学的不同分支建立联系。而我喜欢数学的所有分支——数论、分析、几何、拓扑等——如果我做 Langlands 纲领的话,就不必将自己的研究限制在任何分支中。如果我们遇到还不会证的猜想,就可以尝试联系其他数学分支,用其他相关工具,就有可能取得进展。

在你的事业中,所谓“进展”是什么意思呢?

我和同事们所做的工作,就是在不同数学分支间搭起桥梁——具体来说,桥的一边是 Galois 群与 Galois 表示,另一边是模形式与其推广。

我们从 Galois 群说起。比方说 x^2-3=0 这个多项式方程,它的解,或者说根,是 √3 和 -√3 。显然,这两个数字是关于 y 轴对称的。所谓 Galois 群并不是多项式方程根的群,而是根的对称群。

而如果考虑次数为 5 的多项式(次数指最高次项次数,比如 x^5 或 y^5 ),这时方程就变得非常复杂,其 Galois 群也变得复杂。Galois 表示可以用来简化问题,这时我们就不必研究整个 Galois 群,只需要观察它的某些部分,或者说截面。就像是取 3 维物体的 2 维截面一样;虽然截面并不包含所有原始信息,但很多时候也够用了。

那桥的另一边呢?

模形式是一种高度对称,定义在上半复平面上的函数,其中我们用 x 轴代表实数,y 轴代表虚数(也就是 i=√(-1) 的倍数)。我们只考虑性质“良好”或者说光滑的函数,也就是指函数不会跳跃,也没有尖突。也可以说函数是可导的。

我们可以把上半复平面分成小区域,或者说“瓦片”。而由于对称性,我们只需要知道其中一个瓦片上的函数值,就可以知道所有值。接着,我们可以取无穷多个瓦片,并把相邻的粘在一起,这样就产生了一个曲面,我们称为模曲线。

即便这些都是完全不同的概念,也能通过 Langlands 纲领来说明他们的等价性?

没错,连接模形式(属于分析)与 Galois 表示(属于数论与算数几何)的桥梁,最初建立于上世纪 70 年代,从那时开始,研究人员就一直在加固这座桥。

在 Langlands 对应中,我觉得最神奇的莫过于:你可以用完全不同的方法,分别在模形式和 Galois 两边得到同样一串数字。你要做的,基本上就是把模形式——也就是那些高度对称的函数——分解为正弦函数和余弦函数。这样你就能得到三角函数的系数。而对于 Galois 这边,你只需要数一下多项式方程的根的个数。

能在实际计算中观察到这种现象,即便对我来说,也非常震惊。因为要真正建立这样的联系,得用到比这多得多的数学对象。


“我和同事们所做的工作,就是在不同数学分支间搭起桥梁。”图片来源:Philipp Ammon/Quanta Magazine

来回的两个方向需要不同的桥吗?

的确是这样。第一座桥是单向通道。如果你想从 Galois 表示这边开始,往模形式那边走,就可以使用 Taylor-Wiles 方法,这个方法最早是用来证明费马大定理的。现在我们已经能双向行走了。

为什么要这样大费周章?通过这些桥梁还能让你们做些什么?

建立这些关系,展示不同数学之间的共同点,能带来智力方面的满足。当然,它也是有实用价值的。对于某些数学问题来说,在桥的一边会比另外一边更容易解决。面对一个很难的数学问题,我们经常需要在其中一边做一些研究,然后再到另一边做更多工作。为了证明某些命题,你可能需要来回过桥,这样你就必须得能在两个方向上自由穿行。

在这个领域中,一个重要的目标是要在更一般的条件下造桥。这样我们就能让 Langlands 纲领的研究范围不断扩张。

在造桥过程中,你做出了什么贡献呢?

数学家们已经意识到 Taylor-Wiles 方法的局限性:它针对 2 维情况效果良好,但在 3 维就失效了。2012 年,Frank Calegari 和 David Geraghty 想到了一个改进方法,以适用 3 维情况。然而他们表示,要让这个方法起作用,首先得解决他们提出的三个猜想。

我的同事 Peter Scholze 在 2013 年解决了第一个猜想;这个猜想建立了第一座桥——从模形式到 Galois ,这座桥远比原来的 2 维情况要宽的多,这样才能与 3 维情况下出现的新现象相容。

在2015年年底,Sholze 和我意识到,我们最近的工作可以用来解决第二个猜想,要是这个猜想得到证实,就能精确控制这座桥着陆的位置。虽然这个方法失败了,但是我们又想出了很有希望的新方法。这时,Taylor建议我们在普林斯顿高等研究院(IAS)组织一场研讨会来完善我们的工作,想办法解决第二个猜想。


虽然 Caraiani 不认为 Langlands 纲领最终能解释数学中的一切,但她觉得有一天它可能会连接起数学的所有领域丨图片来源:Philipp Ammon/Quanta Magazine

为什么要跟让别人来参与这项工作,而不是自己解决第二个猜想?

整个证明过程从几何跨越到数论。Sholze 和我做的是几何部分,但我们认为自己并不是数论方面最好的人选。我们觉得寻求合作能让项目进展得更快。

结果如何呢?

我们已经解决了第二个猜想这个目标,并且找到了一个方法来绕过第三个猜想。我们建起了反方向的桥——由 Galois到 模形式的 3 维情况。这让我们成功越过了 Taylor-Wiles 方法失效的障碍。而且这座桥不单单是对3维,对任意维也是有效的。论文已经在 2018 年圣诞节那天挂到网上,现在正在接受期刊的审校。

现在你又在做什么研究呢?

我们对 Calegari 和 Geraghty 的第二个猜想,只在两种特殊情况下做出了证明。现在我正在与之前 10 位合著者之一的 James Newton 合作,想办法在最一般的条件下证明这个猜想。

我还是对第三个猜想很感兴趣,即便我们之前绕过了它。它预测了志村簇(Shimura varieties)的某些性质,而我对此兴趣浓厚,希望今后能对它有更深的了解。

另外,还存在某些情况,我们对于如何造桥一无所知。在我们的领域中一个重大的目标就是在尽可能一般的条件下造桥,比如使用任意数系上的多项式。这样我们就能扩展 Langlands 纲领的研究范围。

这种统一最终能走多远?

我并不认为 Langlands 理论有一天能解释所有数学,不过我还是认为,它起码能触及数学的所有方面。

Robert Langlands 的确高瞻远瞩。他在几十年前建立了一整个网络的猜想,而这个领域的范围也逐步扩大。我们跨过的桥越多,能提出的新猜想,能前往的新目的地也更多。似乎这些取得的进展,都是为了让我们看到前方更为广阔的天地。我并不认为任何人会期待这个纲领走向终结。

本文译自 The Mathematician Who Delights in Building Bridges,原文链接:https://www.quantamagazine.org/a ... l-bridges-20211117/

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发表于 2021-12-2 18:47 | 显示全部楼层
《自然》杂志1日发表了一个机器学习框架,能帮助数学家发现新的猜想和定理。该框架由DeepMind开发,已经帮助发现了纯数学领域的两个新猜想。这项研究展示了机器学习可以支持数学研究。这也是计算机科学家和数学家首次使用人工智能来帮助证明或提出纽结理论和表示论等复杂数学领域的新定理。
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