H是ΔABC外接圆Γ垂心，过A,H圆ω与AB,AC交于D,E，AD=AE，…，证：QE,PD交点S在圆ω上

渣k

如何证明

denglongshan

本题的难点是AD=AE，可以用先构造角平分线解决可能比较容易，不勾造可能程序会难一些，对于圆心在上的两点A和B,\(复斜率k_{AB}=-\frac{a-z}{\overline{b}-\overline{z}}=-\frac{b-z}{\overline{a}-\overline{z}}\)，这公式求各点不难。

渣k

可否再详细说明一下。没太看懂如何构造

denglongshan

圆心在外角平分线上也有同样结论，根据计算结果有图示的角度关系。

數海泛舟

園內接四邊形，定理不少，可考慮

denglongshan

不知道哪里错误，那位点拨一下

denglongshan

天山草网友的计算结果，S是△APQ的垂心

天山草

以下机器证明程序是网友 denglongshan 的作品，本人只是更正了其中的一个小错误。下面是更正后的程序及运行结果。   

1. Clear["Global`*"]; (*设三角形ABC的外接圆为单位圆，C 点在正 x 轴上*)
   
2. 
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0;
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1;
   
5. 
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/a; b = t^2;
   
7. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 1/b;
   
8. \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\) = 1/t;
   
9. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = 1/p;
   
10. h = a + b + c(*当三角形外心在坐标原点时此式成立*);
    
11. 
    
12. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) =
    
13. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) +
    
14. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) +
    
15. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\); m = (a + h)/2;(* M是A、H的中点*)
    
16. \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = (
    
17. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) +
    
18. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\))/2;
    
19. k[a_, b_] := (a - b)/(
    
20. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
21. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));
    
22. \!\(\*OverscriptBox[\(k\), \(_\)]\)[a_, b_] := 1/k[a, b];(*直线的复斜率*)
    
23. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
    
24. \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2
    
25. \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
    
26. 
    
27. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
    
28. \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2
    
29. \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
    
30. (*复斜率等于k1且经过A1点的直线，与复斜率等于k2且经过A2点的直线，两直线的交点*)
    
31. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
    
32. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) d - c
    
33. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) (a - b) - (
    
34. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b - a
    
35. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d))/((a - b) (
    
36. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
    
37. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) - (
    
38. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
39. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d));
    
40. 
    
41. \!\(\*OverscriptBox[\(FourPoint\), \(_\)]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
    
42. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) -
    
43. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) d) (
    
44. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
45. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) - ( a
    
46. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
    
47. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b) (
    
48. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
    
49. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)))/((a - b) (
    
50. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
    
51. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) - (
    
52. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
53. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d)));
    
54. (*过A、B点的直线与过C、D点的直线的交点*)
    
55. Duichengdian[a_, b_, p_] := (
    
56. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b - a
    
57. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) +
    
58. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) (a - b))/(
    
59. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
60. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));(*P关于直线AB的镜像点*)
    
61. 
    
62. \!\(\*OverscriptBox[\(Duichengdian\), \(_\)]\)[a_, b_, p_] := (a
    
63. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
    
64. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b + p (
    
65. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
66. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)))/(a - b);
    
67. o1 = Simplify[ Jd[-k[a, h], m, k[a, t], a]];
    
68. 
    
69. \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) = Simplify[
    
70. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[-k[a, h], m, k[a, t], a]];
    
71. Print["o1=", o1];
    
72. d = Simplify[ a b (
    
73. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
74. \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)) + o1];
    
75. 
    
76. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Simplify[
    
77. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)
    
78. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - o1) +
    
79. \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)];
    
80. Print["d=", d];
    
81. e = Simplify[ a c (
    
82. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
83. \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)) + o1];
    
84. 
    
85. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify[
    
86. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)
    
87. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (a - o1) +
    
88. \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)];
    
89. Print["e=", e];
    
90. x = Simplify[Duichengdian[o, o1, a]];
    
91. \!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) = Simplify[
    
92. \!\(\*OverscriptBox[\(Duichengdian\), \(_\)]\)[o, o1, a]];
    
93. Print["x=", x];
    
94. q = Simplify[-(k[x, d]/x)];
    
95. \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = Simplify[1/q]; p =
    
96. Simplify[-(k[x, e]/x)];
    
97. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Simplify[1/p];
    
98. Print["p=", p];
    
99. Print["q=", q];
    
100. s = Simplify[FourPoint[q, e, p, d]];
     
101. \!\(\*OverscriptBox[\(s\), \(_\)]\) = Simplify[
     
102. \!\(\*OverscriptBox[\(FourPoint\), \(_\)]\)[q, e, p, d]];
     
103. Print["s=", s];
     
104. Print["\!\(\*FractionBox[\(SE的复斜率\), \(SD的复斜率\)]\)=",
     
105. Simplify[k[s, e]/k[s, d]]]
     
106. Print["\!\(\*FractionBox[\(AE的复斜率\), \(AD的复斜率\)]\)=",
     
107. Simplify[k[a, e]/k[a, d]]]
     
108. Print["由于上述两个复斜率的比值相等，因此 ADSE 四点共圆。"]
     

复制代码

程序运行结果：

天山草

期待各位大侠给出本题的纯几何证明。

denglongshan

虽然主贴程序错误，却意外发现一条结论:
已知 △ ABC 的外接圆为O，垂心为 H ，过 A , H 两点的圆O1分别再交 AB , AC 于点 D 和 E ，且有 AD =AE． 圆O1和圆O的另一个交点为 X , XD 和 XE 分别交再圆 O于点Q和P．设M是AH中点，过M作AB垂线交∠BAC的平分线于O1’，以O1'为圆心，O1'A为半径交AB、AC于D'和E'，X'是圆O1和圆O的另一个交点。如红色圆和红色线段所示。证明： QE 和P D 的交点 S 在圆O上，X'、D'、Q和X'、E’、P共线．
感谢楼主给出一个很好的案例，精彩之处是PQ经过数次构造，表达式很简洁，还蕴藏其它结论。