将数字 1～14 填入 2×7 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？

mathch701

如下圖，將數字1~14填入一個 的表格中，其中左邊的數字要比右邊的數字小，上面的數字要比下面的數字小，滿足這種規律的填法有幾種？

lihp2020

卡特兰数 A(7)=429

luyuanhong

王守恩

将数字 1～2n 填入 2×n 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？
\(a(n)=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}\)
{1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845,

将数字 1～3n 填入 3×n 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？
\(a(n)=\frac{2(3n)!}{n!(n+1)!(n+2)!}\)
{1, 5, 42, 462, 6006, 87516, 1385670, 23371634, 414315330, 7646001090, 145862174640,

将数字 1～4n 填入 4×n 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？
\(a(n)=\frac{12(4n)!}{n!(n+1)!(n+2)!(n+3)!}\)
{1, 14, 462, 24024, 1662804, 140229804, 13672405890, 1489877926680, 177295473274920,
.......

将数字 1～m*n 填入 m×n 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？

\(\displaystyle a_{m}(n)=\frac{BarnesG(m + 1)(m\ n)!}{\displaystyle\prod_{i=0}^{m-1}\ (n + i)!}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-17 14:04
将数字 1～2n 填入 2×n 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？
\(a(n)=\frac{(2n)!}{n ...

这个通项公式也可以，就是没有“爬楼梯问题”的通项公式。

CoefficientList\(\big[\)Series\(\big[\frac{1 -\sqrt{ 1 - 4 x}}{2 x}, (x, 0, 20)\big], x\big]\)

{1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845,