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数学是发明还是发现?

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发表于 2021-11-2 10:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
数学是发明还是发现?

作者 | 阿蒂亚(Sir Michael Francis Atiyah)
来源 |《数学与物理最前沿》

迈克尔·阿蒂亚爵士(Sir Michael Francis Atiyah,1929年4月22日~2019年1月11日),英国数学家,毕业于剑桥大学三一学院,前英国皇家学会会长,被誉为20世纪最伟大的数学家之一。

迈克尔·阿蒂亚出生于英国伦敦,童年时代在中东地区度过,1945年跟随家人移居英国,之后以前三名的成绩考入剑桥大学三一学院。1955年获得博士学位,毕业后在普林斯顿高等研究院、剑桥大学彭布罗克学院、牛津大学等学术机构研究、任教,并在1962年成为英国皇家学会会员。

迈克尔·阿蒂亚爵士的主要研究领域是几何,而到20世纪70年代他把重心转移到数学物理学上。 1960年代他与艾沙道尔·辛格建立合作关系,共同证明了阿蒂亚-辛格指标定理,该定理在数学的一些领域均有重要作用。因此他在1966年荣获菲尔兹奖,2004年又与艾沙道尔·辛格共同获得阿贝尔奖。除此之外,迈克尔·阿蒂亚爵士在拓扑、微分方程、数学物理、代数等领域也有杰出成就。1983年,被英国皇室授予下级勋位爵士。1992年,获得英国功绩勋章。



“数学,是发明还是发现?”,这是一个相当富哲学性的题目。这个题目并非专为数学家而设,而是适合更广泛的读者。我们真正关心的,是数学与现实世界及其他事情之间的关系。

数学可以说是处于艺术和科学之间的学科,而数学和科学的关系,几乎人所共知。例如牛顿、麦克斯韦(James Clerk Maxwell)和爱因斯坦所提出的理论,是建基于很坚实的数学基础之上。反过来,科学家的观察和理论验证,又对数学的发展产生很大的影响。然而,数学与艺术之间的关系,便不是那样显而易见了。

数学是艺术也是科学

人们认为,艺术和数学是两码子事,其实两者之间是有关联的。首先,数学是建基于逻辑——严密的逻辑思维。在哲学领域里,同样也十分注重逻辑和思考分析。例如,两位在不同年代的伟大哲学家,古希腊的柏拉图和近代的罗素,他们亦为数学家,因为二人的思想都采用大量数学语言,无可置疑,逻辑属于哲学的一部分。

同时,逻辑也是建构艺术的基础。

当我们说到某些艺术的项目,如绘画,便会趣用到很多透视的方法,也即是空间里的三维观点;透视圆法,亦被视为绘画艺术发展的一大发现。又例如音乐,音乐使用了音符作为基础,但当中的和弦其实是一种十分精确和美妙的数学形式,这也表现出艺术和数学的关系。建筑学追求的是建筑物的美,这取决于建筑物本身的比例和规模等;无论是几何学,或几何学建筑,都是建筑学中的十分重要的部分。

数学与大量艺术项目之间的关系可谓千丝万缕。概言之,艺术就是主观的美。在物理学,对美的追求,是来源于艺术的基本概念。同样,对美的追求,在数学亦是重要的环节;因此可以说,数学既是艺术,也是科学。



科学和艺术之间的区别,可以这样加以阐释——科学家孜孜不倦去钻研和发现在他眼前的世界,借着科学我们可以发现事物的真相和自然世界的法则,比如科学家发现了高温超导电性,这个发现就是建基于从观察中得出的论据。另一方面,艺术则是人类的一种创作。人在思考中,获得了重要的发现和感悟,这个发现的基础并非建立在理性思考,而是在感情上。

表面上,艺术和科学是根本上相逆的东西,但事实并非如此。

数学模型来自思维概念

让我从人类发展的历史,回溯到数千年前,现实世界和人类之间有什么关联。什么是现实世界?它意味着什么?当时的人类是如何思考这个世界?我们不理解现实世界,也不理解思维,更不理解它们之间的关系。

这是其中一个重要的哲学问题。当然,哲学问题并不必然有确切的答案。我们能通过提出问题,从中学习获得智慧,但却永不能得到一个确切的答案。因此,古今哲学家为了一个哲学问题,而消磨了上千年时间。事实上,人类提出科学理论,是把我们所观察到的事物,以一个模型或框架去理解、解释和发展规律。这样,在某种程度上,科学理论和数学模型十分类似。它们都是人类思维内的概念,我们可将这些概念,加诸在外间所观察的事物,好以理解它们。

因此,在某程度上,科学有两个部分,包括外间实验的数据,以及人类内在思维所得的数学模型,并尝试把两者融合起来,得到一个整体的认识。同样的,艺术也有两个部分。一、源于艺术家发自内在感受的创作,二、在外在物理上所受到的约束。例如,数学结构和建筑物的透视点都受到来自外在的约束,是艺术家不能置之不理的。

所以,艺术家应用他们的创作,但也是生活在各种已被发现的“框架”之内,所谓“鱼在水中,水也在鱼中”。在某程度上,艺术和科学都分享着同样的特性,就是它们在“发现”这些框架,并在这框架之内进行各种创作。

这框架是科学所仗赖的数据,或是我们研究能力所及的范围。艺术家同样面对框架,但他们尝试把自己的意念形象化。理性和感性是科学的基础,也是艺术的基础,但大多数人都认为,二者是河水不犯井水,甚至风马牛不相及。然而,从近年有关人脑的研究,我们知悉了一些令人振奋的成果,它显示出人脑中理性和感性,彼此相互影响着“你中有我,我中有你”。或许,我们能在将来对这方面知道更多,了解更多。所以,数学是艺术也是科学。

柏拉图世界是早已存在还是创造出来的?

让我们尝试从多种方法去说明这两个方面。问题在于,数学家所发现的东西,是存在于现实世界中?还是存在于柏拉图式的理想世界?柏拉图用他构想的概念来理解数学,例如,他认为圆形可以是完美的。但完美的圆,在现实世界中从不存在,所有我们所画的圆形,总会带点棱角。

事实上,完美的圆形只是一种想法。我们现在称柏拉图式的世界,确实是一种想法,一个理想世界。在现实世界中,我们见到的圆形,只是柏拉图理想世界的一种想法、反映和替代。但也有人相信,柏拉图世界确实存在,在那里,所有伟大的数学想法都能完美地、和谐地共存。然而,现实世界里竟存在着杂乱,于是科学家便以某些方法,把现实世界和想像世界两者合并。

接下来,大家也许会问:究竟柏拉图式的世界是否从一开始就存在,只待我们去发现吗?抑或纯粹是人类智慧所创造的?它是一件发明还是一次发现?也就是说,我们发明了柏拉图式的世界,接着,这个理想世界反映了现实世界。

这是一个已存在了上千年的疑问。这正是一条我们可以辩论,却会获得不同答案的问题。一般来说,我们从一些基础层面的例子去探讨这些问题,会比进行抽象层面的哲学讨论,会更加有效。因此,我将透过一些简单的例子,去讨论这个问题:数学是一种发明,或是发现?

在进一步讨论之前,让我指出一点。香港是一个以商业为本的城市。许多人们来到大学念书或教书,都难免考虑到金钱和物质的问题。从这方面来说,发明和发现之间的一个主要区别,就是透过发明可以获得专利权,从中可以赚取金钱,而发现却不是。例如,马克士威引进了电磁学理论,如果他发现的公式可以取得专利,恐怕他已经和微软的盖茨一样富有了。但是,你不能为自己所发现的东西取得专利权。人类基因组是近期另一个例子,并且引起了许多争论,比如说,我们能否为人类基因的发现而取得专利?因为这个题目涉及庞大的利益,所以经常引起广泛的争论。因此,这是一项发明还是发现的问题,不纯然是一个哲学议题,也引起了强烈的商业回响和争论。

现在,让我先以柏拉图和希腊人的数学概念作为我们讨论的一个例子。柏拉图感兴趣的其中一个问题,是著名的“正多面体”,也被称为“柏拉图立体”。“正多面体”有 5 个:

正四面体,由4 个三角形组成;

正六面体,即正立方体;

正八面体,即一个双金字塔;

正十二面体,每一个面皆是正五边形;

正二十面体,每一个面皆是等边三角形。

一个正四面体有4个顶点,6 条边和4个面;

正方体有 8 个顶点,12 条边和 6 个 面;

正二十面体,有20 个三角形的表面,12 个顶点,和30条边。

同时,它们成双出现,就是面的数目和顶点的数目,可以互相交替,称为对偶。

首要的问题是,像正二十面体或其他立体的这些物体,究竟是被发现还是被发明出来?



你可以争论:立方体是一件明显存在于周围中的东西,就像方糖一样;而四面体或许也是这样。但是,于大自然中找到正二十面体却十分困难。我不认为它们以任何形式存在,所以,正二十面体看来更加像是一件人类的发明。虽然它的存在归功于柏拉图,但我发现事实上在公元前2000年,即4000年前的苏格兰,便存在着正二十面体和所有5个正多边形立体。这比柏拉图的年代更早出现,至少比柏拉图早了千年。这些可能是文物的石块,出现于苏格兰还没发展出高度文明的一个时代里,而当时已经有人研究出如何做出全部五个立体。

球体内接多面体的奥秘

起初,我估计它是个某时某地某些天才做出来的个别例子,但似乎还不止如此,因为那里有数以百计这样的石块,遍及整个苏格兰。因为某些未知的原因,当时有人发现这些石块,并对它们爱不释手,然后更受到整个社会的重视。这是一次十分重要的观察,迄今为止,在一个没有已知文字或文明的古代竟然有古人发明这些数学物体,实在令人百思不得其解。当然,我并不知道这是否最远古的例子。或许在4000年前的中国,也有人曾经发现正二十面体,但至少迄今为止,苏格兰仍保持这项记录。



到了今天,我们发现了当中一些奥秘,这些数字之间存在一些简单的关系。这些立体的数学关系是欧拉(Leonhard Euler)发现的,被称为“欧拉公式”。

F+V-E=2:顶点(V)的数目减去边(E)的数目加上面(F)的数目等于 2 。

从这五个例子,我们很容易便能得出这个简单的关系。但欧拉想得更深,他观察出的规律,不仅能套用到柏拉图立体上,更能套用到所有球体内接的立体上,所有这些立体的数字之间都能符合这种关系。讨论至此,你也许会问,这是一种发现,还是一件发明?我偶能找到更多,但能将这个公式应用得多远?

结果,它成为数学里一个十分重要的公式。数百年来,这公式有不同的演变,但它仍然是数学中的核心部分。事实上,中国数学家陈省身教授的研究工作,都与这公式有密切关系。如果我们能在自然界中发现这些公式,就能看得见这些事物。如果二十面体是你发明的,你就是发明了这条公式。

这就是有关发现还是发明的讨论的第一个例子。

有多少数是上帝的创造?

让我回溯得更远。数学中,最原始的是什么?数学是从哪儿开始?也许你会回答:由数和计算开始,1、2、3、4、5 ..... 一堆整数。著名的德国数学家克罗内克(Leopold Kronecker)说:“整数是上帝创造的,其余都是由人所凑成”。人类发现了整数,又制造所有其他的东西。

第一个问题是,0 又如何呢? 0 也是一个整数。在 1 之前,首先是 0 。0 无疑也是一个重要的整数。它是一件发明,还是一种发现? 0 早就存在,抑或是我们的发明?我真想说 0 是一个发明,但事实上这是个很难处理的问题。

然后是十进位的标记法。当我们开始写下数,就是在组织数。同时,十进位的标记法是在数学中一个十分重要的部分。它当然不是一早就出现的,罗马人写了一个复杂的数学系统。在我来香港讲学暂住的饭店房间里,书桌上放了一个日历,上面印着小小的中文数,但这些数我看不懂,对我来说,它们就像罗马数一样。但无论如何,十进位的记数法是伟大发展的一步。有时候我会尝试认为它是一个发明,但是你也许会说数早就存在了,上帝所发明的世界早就如此,只是我们后来才发现它罢了。

再进一步讨论下去。数学家对整数又做了些什么?是的,数学家有时会埋首于有趣的事情上,他们并非对所有数都有兴趣,却去深究质数,质数是不能被分解成其他因数的整数。我都知道,6 是 2 乘 3 的积。但如果将不可分解成因数的数字依次写出来,它们是 2、3、5、7、11、13,可以无穷无尽地写下去;只是,数学家很难找到一个规则去描写出它们的全貌。专门研究数论的数学家喜欢质数,因为在分析整数的过程中,你可以将所有整数分解成质数的积。因此,质数可以被当成是整数的构件部分。构件往往具有引人入胜的吸引力,如果想了解某事物的结构,你将要仔细观察它的构件,从构件揭开它的面纱。原子是物质的构件,所以质数是算术的构件。

2 的平方根是个什么样的数?

那么,长度又如何?长度是数,例如 1、2、3、4、5,都是数。长度由数代表,而数又代表了长度单位?假如你拿一把尺子、一条绳或其他,你可标出它的长度。也就是说,长度是在现实世界中,一样能够量度的重要东西。当希腊人接触长度时,他们发现并非每个长度都能以数呈现出来。举例说,我们以一个单位长度作为一个正方形的边长,这个正方形的对角线的长度应该是一个数,而根据勾股定理,这条对角线的长度又应该是2的平方根。反过来说,这个数的平方,就是 1+1 。

2 的平方根这个数存在吗?迄今为止,所有的数都是整数或者是分数(例如: p/q )。如果 2 的平方根这个数不是整数,它会是一个分数吗?很容易就可以证明 2 的平方根不会是一个分数。

我来给大家做一个论证:我们用两个整数 p、q 来组成一个分数 p/q ,这两个数可以约分时我们先将它们约分,到最后我们可以假设这两个数不会都是偶数。假设 2 的平方根 =p/q ;,将这个算式平方,可得出 p^2=2q^2 ,从而得知 p 是偶数。然后将 p 设为 r 的 2 倍,以 2r 取代 p 放回算式中,得出 (2r)^2=2q^2 ,互相再以 2 相抵,得出 q=2r ,从这里看,q 是个偶数。这跟我们上面的假设又抵触了,所以又不能将 2 的平方根这个数写成一个分数。

这是数学其中一个最美的逻辑推论,证明出 2 的平方根并不是一个有理数。这又会是个什么样的数呢?这个数存在吗?可以书写出来吗?这是个吊诡。2 的平方根作为这个长度的数确实存在,但又不能写成 p/q 那样,于是我们不得不发明一些数来表述这个数,其中一个方法,就是利用十进制,把 2 的平方根写成 1.4142135623731....。有些非凡的数学家能不假思索,就可以把这个数的 100 个小数位都写出来,我就做不到,只能自叹不如。

实数的发明是一大进步,但这个发明是由量度现实世界的物件而来的,因此我们也得建立一个方法,去处理这问题。



数学家接下来要处理的是负数。数可被称作正数也可以是负数。比如我们在尺子上,从左至右记下数字,这可称为正数。若果从反方向,就可称为负数。好像升降机的上、下,或会计师做的资产负债表一样。这是现实世界中很重要的东西。所以,负数十分重要。再看深入一些,人类是如何处理负数?如果将 -1 乘以 -1 ,你会得到 +1 。也就是说,如果你并非向前走,而是反方向前进,然后再一次倒转方向,你将回到原来的位置。你可以说,数的发展是基于经验。有如十进记数法一样,这些都是我们在量度距离的长度当中发明出来的标记方式,去将数书写出来;这些经验和发明,就以某种模式紧扣着。这些都是数学的初阶,且让我们进入更复杂的领域。

虚数是人类的重要发明

虚数的发明让数学进入了新阶段了。按照上文所说的规则,当一个数自乘时,得其平方时,这个数总是个正数。当两个正数相乘可得正数,而负数也会产生正数:所以没有任何一个数的平方是负数。算术的规则不允许这样的数存在,它不具有任何意义。

但是,如果我们非得要把它写下来,这个数被称为虚数。数百年来,数学家不断争论,这诡秘的东西能否被书写呈现,并严谨地加以应用,到最后又能否应用到现实世界,大家对这些问题存疑。数百年来,这概念都不被接纳或被束之高阁。幸而到最后,数学家解决了,并接受了虚数。这是人类的发明,因为它不存在于世间,同时因为人类发现虚数的定律,在数学中很有用处,电子工程师也愿用它,甚至成为量子力学中一个重要的根基。



在某程度上,复数是实数和虚数的结合。所以,-1 的平方根虽然没有在现实环境中明显地存在,但它仍很微妙地体现于现实存在的一些东西里,也暗藏于狭义相对论中。我可以大胆地说,-1 的平方根可能是人类最伟大的单项知识发明。

这是个很大胆的声明,有人反对这种说法吗?大家都同意它不存在,然而,我们能在数学和物理学中,能得到惊人而丰硕的成果。这是一种巨大的成就,也肯定是人类超越性的发现。我们不能看见虚数在周遭出现,但我们接触和应用它,从中得到巨大的成就。事实上,数学家花了整整 300 年才做出来,它不是单个数学家的发明,而是群策群力创造出来,是人类集体思想的心血,经历了几百个寒暑,也难怪当时最伟大的数学家,对此也探索良久,甚至穷一生之力,孜孜不倦为此做出贡献而无悔。

我们再看数学中一些扣人心弦的故事。数学中,有一些特定的数或常数,被称为宇宙基本常数,它确实在数学中起了重要的作用。

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 楼主| 发表于 2021-11-2 11:01 | 显示全部楼层
圆周比率 π 是周期性现象的基本常数

第一个—— π 。所有进过学校的人都会应用过这一个圆形的圆周跟直径比率的数值。如果你想透过一个公式计算它,你首先要画一个圆,并且在圆里面内接一个多边形。你可以增加边的数目,并量度多边形的周界,这个多边形的周界肯定会比圆周小。但是如果我们将多边形的边的数量不断增加,亦即是把这个多边形的边长不断的缩短,所得出这个多边形的边长便会越来越接近圆周。如果我们继续且不断重复上述步骤,我们所得出的这个圆周与直径比率的量度结果将会愈来愈接近 π 。希腊人和阿基米德正是由此方法得到很准确的 π 。所以,π 是很基本的。当然,你也可以认为,这只是个愚笨的几何学家才会做的事。谁会关心圆周和直径的比率?但是,事实上 π 是最基本的常数;它在数学和物理学中起了一个举足轻重的角色。



道理很清楚,因为 π 与一些周期性的现象有关系,即是任何循环和重复的事情,π 都派上用场。地球和太阳的运动、钟表上的时间,任何会振动的事物都有周期性的模式,所有那些对周期性现象的描述都会包含基本的常数。π 会在所有数学和物理学的教科书中的常数出现,它是你能想出的最通用的数。也可以说,它是人类文明其中一块基石。

指数函数 e 是计算增长数字的基本常数

另一个几乎有同等基础性,但有一点较难理解的是 e ,指数函数的基数。e 约等于 2.718 ,是 2 和 3 之间一个实数。这个数的重要性有其基本原因,其一是它跟物种的数目增长有关,包括人、细菌或动物。在任何一代,一个个体被取代成两个,就好像父母二人共有 4 个后代。如此,它的数量就会倍增,到了下一代又再会倍增,这快速的增长称为“指数增长”。如果这情况继续出现,而且没有人死亡,那么没多久地球的食物就会耗尽,灾祸立至。事实上,这真的值得人类警惕,因为上个世纪的全球人口几乎是以指数增长的。所以,我们面对的一大难题,是当人口超越极限后,我们如何维生?世界人口现在已逾 60 亿,而且预计将会达到 90 亿,有些甚至预计得更多,怎么办?

这是人类人口的问题,但是,我们也可以将之套用于小动物、或传播病害的细菌的问题上,他们可以指数地增长和传播病害。

这个数学概念也可以在金融世界中应用,而复合利率的计算是基于指数函数的计算方式。假设你有一笔银行存款,每年结束时,银行经理给你一个额外的比例,例如 x ,x 可以是 5% ,或者更慷慨地他给你 10% 的额外款项。如果他们不是每年给你一次,而是每半年一次,即使是同样一个按年比率,你都会获得更多的款项。因为在前半年你已经得到了(x/2)% 的额外款项,下半年的这个 (x/2)% ,是基于本金加上半年已取得利息的总和而计算,即是在本金加上半年利息之上得到的利息,这种计算利息的方式稍为复合利率。假如是每季给你计算一次又会是怎样呢?你将会得到更多。假如是每天给你计算一次呢?你将会得到更加多。假如他们每秒,或每毫秒一次呢?你会否得到更多,变得更富有?

答案是:这是有上限的。你最多可以得到的是。假设 x 是1,就是说,你有一名十分慷慨的银行经理,给你百分之百的利息,你最多可以得到多少?答案是,在一年结束时你将会得到本金的 2.718 倍。假使你在银行的存款是 100 元,如果银行给你的年利息是 1 ,按年息计算,你得到的利息是 100 元。不管复式的计算次数有多大,你所获得最大可能的额外利息是 71.8 元。

因此,无论大家对钱、人口还是对病菌的增长感兴趣,都需要知道指数函数。

上文所述的 π 和 e 是数学上的两个基本常数。

最美丽的公式: e^(πi)=-1



在现实世界同样也有基本常数。当人们(或智灵生物)在行星之间互相通讯,就如美国国家航天局发射火箭到太空,当火箭到达遥远的某处,可能我们会想传输些资讯给其他智慧生物,来证明我们是聪明的。这样,我们会想放些什么在火箭上而令对方可以了解?其中一样可放的是某些数字,因为我们相信,远方的文明也会找到这些常数。所以,我们可以放上e和。但当然我们也可以放物理常数。假如对方是不错的物理学家,他们可能想计算质子质量和电子质量的比率,或许我们也可以把这些比率放在那些资讯中。但是,数学常数还是比较容易理解的。放一个正二十面体可能也是个好提议,来看看外星人是否知道正二十面体。

事实上,有很多好东西是在语言以外的,独立于我们所认识的语言。但在一个适合的模式,他们是会懂得这些数学。如果有人问:在数学中,哪一个公式最美丽?我想所有数学家都会同意,就是以下这一个公式。

e^(πi)=-1

什么是 e^(πi) ?很简单,你可把它代入 x+yi ,经过运算,答案是 -1 。这是在数学最奇妙的公式,因为在单一条公式中,包括三个最重要的数字: -1 的平方根 i 、π 和 e。这条令人惊叹的公式,包含了最基础的意义。正因如此,它是如此的美妙。同时,我亦视这公式为数学界里,可与文学界最著名的句子媲美——莎士比亚四大悲剧之一的《哈姆雷特》里“to be,or not to be”。句子简短,但是这十分简单的句子却蕴含一个深厚的意义。所以,数学家其实同样有美的触觉。数学和艺术相同,两者依赖于同样的理念,就是既简单又深刻。



数学对物理学的非凡贡献

接着我们转谈几何学。几何学曾被欧基里德(Euclid)和其他希腊学者浸淫研究,德国哲学家康德对此也反复思量。事实上,几何学就是空间,就算我们的脑袋早就决定了空间是怎样的模样,但是我们还是用发展出来不同的实验去钻研它。

在19世纪时,醉心于欧氏几何学的人,发现了欧氏几何以外的几何学。我们发现有一些空间是不符合欧氏定律的,我们称之为非欧几何学。从波尔约(Janos Bolyai)、罗巴切夫斯基(Nikolai IvanovichLobachevsky)、高斯(C.FGauss)等数学家的研究成果得知,这种几何学在某程度上,类似欧氏几何学,只不过是空间弯曲了。继而有德国数学家閔可夫斯基(Hermann Minkowski),最后爱因斯坦将之用作时空的曲度,作为对重力场的阐释。这里的万有引力,是建基于于时空弯曲的想法。然而,当中其实有不只一种几何学。

几何学不光牵涉平面,也可有弯曲空间,能够最终引领爱因斯坦的理论。

我爱引用物理学家维格纳(Eugene Wigner)在《数学在自然科学中不合理的有效角色>(TheUnreasonable Effectiveness of Mathematics in NaturalSciences)一文中一句话。他指出:在所有不同的方法中,数学对物理学有着非凡的贡献。也许你会奇怪,为何这些比较愚蠢的数学家做出来的数学,会由才智之士的物理学家所应用,但事实正是如此。那么,我们可能同时会问一个相关的问题:数学是一个发明或者发现吗?

如果数学是被发现出来的,它显然是源于自然世界;如果是人类脑筋所发明的,为什么它运作得如此美好?甚至运行得几乎完美无瑕?如果你相信神是宇宙的创造者,那就是神造人,他创造宇宙,并且由他建立数学的原理。当人们开始探索世界时,发现自己能以数学来解释物理学,洞察世界,揭开世界的面纱。

如果你是柏拉图派,相信柏拉图,你会认为在物理世界以外还有柏拉图式概念的世界,而我就是用它来构建物理世界。你也可以是达尔文派,并且说人类头脑的演变是进化的结果。在现实世界为了生存,人类的头脑不能不驾驭外间的物理定律。否则:我们就不会被大自然选中,甚至在物竞天择中难逃被淘汰的厄运。这样,物竞天择就选了符合物理定律的思维。

然而,这种辩解并不能令人信服,但可算是个好的讨论起点。近年来令人惊奇的一件事情,是不懂数学在物理学中显得非常有效,很多从物理学而来的成果,在数学中也显得非常有效。甚至当数学家和物理学的工作是风马牛不相及时也是如此,彼此竟可互相启发、互相增益。从今天的物理理论中,我们可找到十分值得注意的数学发现。这个关系是双向的,也令人更难以理解。现代物理学超越了爱因斯坦的四维时空,已走向高维时空。

人类认知以外的高维度

如今我们有更高维的几何学。在一维空间中,我们有一条直线或者一条曲线,有一个参数。在二维空间中,我们有平面或者膜。在三维空间中,我们有空间,很有可能是弯曲了的空间。而在四维空间中,我们有爱因斯坦常用的空间和时间。其他更高的维度呢? 5,6,7,8,9,10,11 维又如何?在数学中,数学家可以想出任何他们喜欢的东西。因此,为何不能有五维空间?在三维空间的一个点被指为坐标 (x1,x2,x3) ,在五维空间就可以有 (x1,x2,x3,x4,x5) ,毫无难度,只要将它们放在一起便可。如果你是物理学家,你能将之想像为自由度,即是有多少个运动的方法。1 个粒子有 3 个运动的方法,但当 2 个粒子独立地运动,它们共有 6 个自由度。如果你想要描述 2 个粒子的一个容器的状态,你将要用 6 维空间。所以高维度也占了一席位了。在 19 世纪,数学家开始研究它们,但像之前的虚数一样,高维度是深奥的,并不那么容易为人接受。当时英国的数学家西尔维斯特(Sylvester),为高维度撰了个新词“超乎构想”(inconceivable)。因为他认为,高维超出了人类脑袋所能构想的。

但西尔维斯特也觉得这不是一个问题,因为他相信任何虚构事物,他相信 i ,认为虚数有超乎构想的维度。遗憾地,这词没有流行过,这确实是一个好的词,但是事情发展得太快了,现在物理学家在接受高维度空间的存在时,我们没有一个词能够表明,它是超出想像的。在现代物理学里,高能物理学中的弦论,提出了我们其实处于高于 4 维的空间。这 4 维的空间就是时空,但是,这里也同时有其他的维度,这共有 10 或 11 维度,即是有原来 4 维空间,和额外的 6 维度。

这些额外的维数在某程度上,可算是细小并且紧紧地弯曲的。除非我们有一个十分强大的放大镜,否则我们根本就看不见。它就像一条电线一样,却有一个额外的尺寸、厚度。除非我们在显微镜中细心观察它,否则只能看见它像一条直的线。想像今天的物理学。我们需要的放大镜是一台高能加速器。在研究细小的空间时,我们需要有高的能量。这就是现代的物理学的一个画面,它有更高的维度。高维度是你不能以平常方式去看,但可在高能量时研究它们。

由于巴布森(Babson),现在我们有间接的证据去证明这些理论模型,跟实验结果是一致的。虽然我们不能直接看见较高的维度,但是我们能间接地探索它们,侦测到它们的影响。我们可以往后推论这些维度是真实的存在,因为这跟实验所得的是一致的。但问题始终是:它们是已存在的,抑或是人类脑袋创造出来,借此让我们去了解大自然?我们始终要下一个定论,假如它是用来了解大自然,那么,这是数学上正确的事。但无论大自然是否真的如此,或是装成如此,甚至是我们把它看成如此,统统都不重要,而且这是不能去验证的想法。也就是说,在实验室观察到的,能否奠下一个关于高维的更精细的图像,这是我们所不知道的。

现在这个问题愈来愈无法回避。今日世界的物理变得更加复杂,而这类高维的、弦论的模型,在近年变得愈来愈精密,所以它影响的数学也愈来愈广。然而问题是:这世界果真是如此复杂,抑或只是我们从自己的观点,把它看得如此复杂?例如,我们将要到另一行星,远方的智灵生物构想的东西,跟我们构想的是否相同?他们会否构想额外的维,又会如何去想像它?所以,这是很难去了解我们所建立的数学模型,会否有真实物理的意义。我在上文简略地讨论过达尔文的推化论及其对人类智慧的构成,我想回到这个问题的讨论,因为人类的脑袋,就是进行数学探讨的地方,当我们讨论柏拉图的理想空间时,哪里才是理想空间?这其实是在人类的集体智慧之内。这是概念的住处,除此以外,我们再找不到任何地方了。假如你将概念放在纸上,纸上所示的不是概念,只是个图片,事实上,概念是收在人类的思想中或者更深处。

抽象概念是数学的灵魂

物理学使用数学模型,而数学则建立于人类脑子中。人类的大脑很可能是进化出来的。同时,进化是由物竞天择,当中基于物理学和生物化学而来。所以某程度上,我们会见到一个循环。因为有这些物理定律,人类的大脑成了这个模样;但人类的大脑利用数学得出物理定律,这俩不断循环。我们可以提出一问题:我们对大脑的结构有多少认识?这将会是下一世纪的大问题。

运用先进的扫描技术,神经生理学家已经发现了很多和大脑有关的知识。我们发现,大脑里面有化学反应和电路,也掌握了扫描的各个步骤。我们开始对大脑的运作有了个初步的认识,虽然所知不多,但开始知道多一些,当中包括大脑很可能涉及抽象的运算。你可能会认为,大脑处理视觉等具体的资料时,它们组织起来的方法会涉及抽象的讯号,变得有如密码一样。但是,这些讯号并非直接反映了某件实体,而是被编成为一些抽象的密码。事实上,数学也是建基于抽象概念。究竟人类如何获得这种抽象概念的能力?

数学收集了大量的事物。当发现有一些事物是共有的,就追溯并整理出来,建立出想法和概念,进而加以细心分析。抽象概念就是数学的灵魂。单一个数学概念之所以能应用到现实世界的不同地方,就是因为我们在不同层面对它可以有不同的演绎。与此同时,抽象概念看来在某形态上可以反映大脑的操作,大脑内的回路某程度上有着数学的结构。今天,神经生理学家开始以科学的角度去解答哲学家过往提出的老问题,还有关意念和决策的问题。以往哲学家讨论的问题都是循环不息的,没有确切答案,但现时我们有了个切入点,去了解这些问题。当然,我们得到的也许不是答案,而是产生更多的疑问。

讨论到这里,让我作一个扼要总结。传统上,意念跟物质是分开处理的。意念,是属于人内在的;物体,是属于外在的。我们的问题是,这双方有什么关联?物质果真存在吗?抑或只是一种想像?意念将物体实现出来,抑或体现了其他?这是属于哲学家的问题。但有一点是很清楚的,数学建基在意念之上,而物理学是研究物体。数学和物理之间的问题,是意念和物体之间的问题的缩小版。然而,数学和物理学的先后关系是怎样?

可以说,脑子是意念的实体基础。意念就是从脑子内部结构中,透过未知的方法浮现出来,这使我们的问题变得不扎实。脑子当然由物质组成,它有实际的成分,脑子是数学和物理学被阐明的地方。当我们有数学的理论,或有关于几何学的概念,它可能以某种形式记在脑内;而脑子是现实世界的一部分,也是其中最重要的核心。哲学家必须把脑子是否由物质所组合,并以某种方式进行思考纳入讨论,否则他们便无法谈论实在细节,也无法确定实在的问题。也许这就是困扰人类几千年的真正问题所在。

随着科学和研究的精进,我们未来将会知道更多关于大脑的运作,及它和意念的关系。在某程度上神经生理学的进步,可以令有关数学、物理学和科学的疑问都会变得更加清晰。

都是以“美”作为选择的准则

在总结时,让我用另一个方法,去回答有关发现还是发明的疑问。无论是在现实世界或是在理想世界,不论是由意念组成还是由原子组成,都有千千万万个可能出现的情况。如果我可用符号的话,我有千千万万个不同组合的方法。如果是物质,我可随意造出不同分量的物质。如果是数学符号,我可以写出很多方程式,有些方程或许是正确的,有些是错的。当我们写下一条理论,或当数学家建立一条理论时,他会从一大堆正确的方程式中提炼出一些方程式。他会选取其中一项去做研究,或者选一项他感兴趣的问题去攻关。他的选择方式和艺术家或作家选字摘句其实没有两样。

假如将猴子放在打字机前,提供足够的时间,它可以写下整套莎士比亚的著作。这当然是可能的,但这随机过程需时很漫长;莎士比亚则是抄了猴子的捷径,他去“拣选”字词,从一切自己所知道的文字中,根据一些准则选出美妙的字词;而数学家也从应该正确的方程中,根据一些准则去选择方程式。物理学家也用相同的方法做事。他们做出了一切可行的事,然后选择如何去落实。我们现在使用的那些准则,当然是决定结果的基础。

在某程度上我想说,数学家和作家的准则就是美。

请注意:当莎士比亚写作时,他挑选美丽的字词去撰写。所谓美的文字,“美”涵盖了意义、声音、雅致:包括美的各个方面。数学家选择研究方程式:也因为它是美的。为什么它们是美?因为有下列这些因素:雅致、简单、深刻、普遍性。这样许多事情都与美连上关系,而正是美这个标准,使数学家从众多方程中作出选择。同时,美也令数学家做出正确的选择。人类这种投入和参与,就如发明的过程一样。发明就是从一切的可能性中选择你想研究的,一切的可能性就放在眼前。这就是你的发明。

发明就是从零去开始一件新事物。不论在现实世界或理想世界,我们都是从一切可能性中,去找某样具潜质发展的事物。这就是人类的活动。我们可以从观念中强调数学、艺术和科学都是人类活动;而人类扮演的角色,是根据我们决定的准则作出选择。而这美的标准包括,简单、雅致、意义.....一切一切。科学就是这么一个过程,并成为整个人类知识架构的一部分。我们就是试图理解外部世界、理解大自然的科学家。

然而,“理解”也是一个深奥的概念。理解是什么意思?如果你细心思考,你将发现你不知道答案。所谓理解,是脑子得到资料后,对资料着手处理,令它可被理解、有条理等等,这一切全都依赖脑子如何运作。脑子如何理解秩序和结构?它实际情况如何?我们不知道。作为数学家,我想希望用自己的脑子解决问题。物理学家使用他们的脑子解决实体世界的事情。但是在这之前,必须要有某些东西在他们的脑袋里先行运作,因此重要的是,要认识到数学和所有事情都是人类活动,都是一种自发自动的过程。有人说:如果你有电脑,你就不再需要数学家。因为它能处理资料和为你做妥一切事情。但是,所有机器都要处理成千上万的定理,选择哪一个?最终还是需要人类去选择材料、组织,以取得进一步的发展。科学也是一样。

所以,到最后,发明和发现同时出现,发明的部分就是人类的贡献。

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