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任意四边形的一个面积公式,如何证明?

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发表于 2021-10-15 11:09 | 显示全部楼层 |阅读模式
据说下面这个任意四边形的面积公式是俄罗斯某个数学家发现的。如何证明?

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发表于 2021-10-15 20:26 | 显示全部楼层
6年了。你还在问别人,自己没证明出来?<数学奥林匹克与数学文化>、、
TSC999发表于 2016-8-23 19:15:21


给出来源或是引用的文献?学术领域里面除非基本常识,任何新的论点都需要证据支撑。
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发表于 2021-10-15 22:55 | 显示全部楼层

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可能用得到直线构造最后一个点?  发表于 2021-10-30 20:55
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发表于 2021-10-15 23:03 | 显示全部楼层
这里我也给一个任意四边形的面积计算式助助兴:
\[ S= \frac{{{AB}^2}\sin A\sin \left( {A + D} \right) + 2{AB} \cdot {BC} \sin A\sin C + {{BC}^2} \sin C\sin \left( {C + D} \right)}{2\sin D} \]
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发表于 2021-10-16 15:30 | 显示全部楼层
记得单墫教授《平面几何中的小花》一书中有一个漂亮的证明。
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发表于 2021-10-20 21:39 | 显示全部楼层
楼上 永远 上传的帖子很好!已收藏。
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发表于 2021-10-21 10:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-21 11:07 编辑

\(还是这个公式实用。已知\ a,b,c,d\ 及\ c,d\ 的夹角\ 2\gamma\ (1楼的图)\)
\(任意四边形面积=\frac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2-d^2+2cd\cos(2\gamma))^2}+2cd\sin(2\gamma)}{4}\)
\(证:任意四边形面积=\frac{2ab\sin(2\alpha)+2cd\sin(2\gamma)}{4}\ \ \ (1)\)
\(由(BD)^2=a^2+b^2-2ab\cos(2\alpha)=c^2+d^2-2cd\cos(2\gamma)\ \ \ (2)\)
\((2)代入(1):任意四边形面积=\frac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2-d^2+2cd\cos(2\gamma))^2}+2cd\sin(2\gamma)}{4}\)
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发表于 2021-10-21 20:59 | 显示全部楼层

假设BD=1,角标记如图,则
a=sinz,d=sinx,sinA=sin(x+z),c=siny,b=sinw,sinC=sin(y+w),sinB=sin(x+y),sinD=(z+w),不知道这种变换是否会容易一些。

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发表于 2021-10-22 20:54 | 显示全部楼层
  1. (*假设BD=1;*)
  2. a = Sin[z]/Sin[z + x]; d = Sin[x]/Sin[z + x]; b = Sin[w]/
  3. Sin[y + w]; c = Sin[y]/Sin[y + w];
  4. A = \[Pi] - (z + x); B = x + y; C1 = \[Pi] - (y + w); D1 = z + w;
  5. Simplify[{Sin[A], Sin[B], Sin[C1], Sin[D1]}]
  6. Simplify[{Cot[A], Cot[B], Cot[C1], Cot[D1]}]
  7. Simplify[{Tan[A], Tan[B], Tan[C1], Tan[D1]}]
  8. Simplify[{Tan[A/2], Tan[B/2], Tan[C1/2], Tan[D1/2]}]

  9. S1 = (a + b + c + d)^2/(
  10.   Cot[A/2] + Cot[B/2] + Cot[C1/2] + Cot[D1/2]) - (a - b + c - d)^2/(
  11.   Tan[A/2] + Tan[B/2] + Tan[C1/2] + Tan[D1/2]); S2 =
  12. 2 (a d b Sin[A] + b c Sin[C1]); S3 = 2 (a b Sin[B] + d c Sin[D1]);
  13. Simplify[{S1, S2, S3, , S1 - S2}]
  14. (*Factor[{S1,S2,S1-S2}]*)
复制代码


不知道错在哪里

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发表于 2021-10-24 07:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-25 08:39 编辑
denglongshan 发表于 2021-10-21 20:59
假设BD=1,角标记如图,则
a=sinz,d=sinx,sinA=sin(x+z),c=siny,b=sinw,sinC=sin(y+w),sinB=sin(x+y),si ...

还是这不用烧脑细胞的。

\(1,12\ 楼的图。\)谢谢 denglongshan!
   \(a=\frac{\sin(z)}{\sin(z+x)}\ \ b=\frac{\sin(w)}{\sin(w+y)}\ \ c=\frac{\sin(y)}{\sin(y+w)}\ \ d=\frac{\sin(x)}{\sin(x+z)}\)
   \(4S=\frac{2\sin(z)\sin(x)}{\sin(z+x)}+\frac{2\sin(w)\sin(y)}{\sin(w+y)}\ \ \ \ (1)\)
\(2,1\ 楼主帖。\)
   \(4S=\frac{\big(\frac{\sin(z)}{\sin(z+x)}+\frac{\sin(w)}{\sin(w+y)}+\frac{\sin(y)}{\sin(y+w)}+\frac{\sin(x)}{\sin(x+z)}\big)^2}{\cot(\frac{x+y}{2})+\tan(\frac{y+w}{2})+\cot(\frac{w+z}{2})+\tan(\frac{z+x}{2})}-\frac{\big(\frac{\sin(z)}{\sin(z+x)}-\frac{\sin(w)}{\sin(w+y)}+\frac{\sin(y)}{\sin(y+w)}-\frac{\sin(x)}{\sin(x+z)}\big)^2}{\tan(\frac{x+y}{2})+\cot(\frac{y+w}{2})+\tan(\frac{w+z}{2}) +\cot(\frac{z+x}{2})}\ \ (2)\)
\(3,综合\ \ \frac{(1)}{(2)}=k\ \ \ 化简可得\ k=1\)

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4s=2 Csc[w + y] Csc[x + z] (Sin[w] Sin[x + y] Sin[z] + Sin[x] Sin[y] Sin[w + z])  发表于 2021-10-30 20:44
手工算?  发表于 2021-10-24 19:30
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