隐藏在“田子坊”地砖中的数学题

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隐藏在“田子坊”地砖中的数学题

作者 | 杨凡

来源 | 华理社K12

作为华理社的编辑，在一周繁忙的工作之后，我有时会在休息日到魔都的各个景点逛一逛。

在这些景点，我除了观察形态各异的建筑，也习惯于低头欣赏各种漂亮的瓷砖。比如，上海著名景点“田子坊”，里面不仅有全国各地的招牌美食，也有很多种排列整齐、具有几何美感的瓷砖。

稍微留意一点，就会发现田子坊的正门外和正门里，地上的瓷砖有明显的区别：门外的瓷砖整齐划一，门内的瓷砖错落有致。





具体来说，在门外的正方形瓷砖只有一种边长，而门里的正方形瓷砖则有大有小，仔细看大概可以分成四种不同的边长。



作为一名数学编辑，我的一个自然的想法，是确定这四种正方形的边长比。于是回到家之后，我用画图软件把其中一块相对整齐的区域画了出来：



接下来，我很容易地推导出了这四种边长之间的关系：



结果竟然如此的优美！当然，需要注意的是，这一结论在我画的图正确的前提下成立，与实际尺寸可能有细微区别。

事实上，这些瓷砖中还涉及到一个重要的数学概念——密铺。

用一种或多种不同的形状，没有空隙和重叠地铺满平面，就叫做密铺。田子坊如此精美的地砖究竟是源自设计者的精密安排，还是铺砖工人的巧妙摆放？这个谜题等待着大家一起去解开。

除了田子坊，很多地方也有各式各样的精美地砖，都是数学中的密铺图案：













部分图片摄于上海徐家汇的徐光启纪念馆（徐光启是明代著名数学家，首先把几何学的许多基础概念引进中国）。

事实上，密铺现象在生活中随处可见。

比如下图，图1是一种常见的布料图案——千鸟格，它是由单一形状构成的。



图2是荷兰著名版画家埃舍尔的《天使与恶魔》，由两种不同的形状组合而成。



图3是显微镜下的鲨鱼皮肤，可以看到上面布满许多齿状突起（也叫盾鳞），它们可以减少水流的阻力，可以看成是三维空间中的“密铺”。