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求整数 a, b, c,满足 a ≤ b ≤ c,使得 a+b+c = abc

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发表于 2021-9-17 06:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
如题,求整数 a, b, c,满足 a ≤ b ≤ c,使得 a+b+c = abc 。
发表于 2021-9-17 09:18 | 显示全部楼层
除了 {1,2,3} 和 {-1,-2,-3} 外,应该没有别的整数解了。
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发表于 2021-9-17 09:19 | 显示全部楼层
1+2+3=1×2×3
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 楼主| 发表于 2021-9-17 10:32 | 显示全部楼层
谢楼上两位。

首先考虑如果 a, b, c 中之一为 0,则易知 对于所有的 k,{-k, 0, k } 都是它的解,这种情况,不妨称为“平凡解"。

下面只考虑非平凡解,也就是说,a,b,c 均不为 0。

由于 a+b+c=abc   ->  |a+b+c| = |abc| ,而 |a+b+c| ≤ |a| +|b| + |c|
故有 |abc| ≤ |a| + |b| + |c| ≤ 3 max{|a|, |b|, |c|}。

不妨设 max{|a|, |b|, |c|} = |c|,故有 |abc| ≤ 3|c|,所以 |ab| ≤ 3,于是对 a 和 b =1,-1,2,-2, 3, -3 进行逐个验证,知 {1, 2, 3}、{-1, -2, -3} 是仅有的 2 组非平凡解。
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发表于 2021-9-17 11:40 | 显示全部楼层
楼上 uk702 的帖子已收藏。
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发表于 2021-9-19 18:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-9-19 18:48 编辑

对4楼思路稍作调整,可以不用取绝对值。
因整数 a, b, c,满足 a ≤ b ≤ c,则abc=a+b+c≤ 3c,即abc≤ 3c.
下面对c做等于零或不等于零讨论即可。

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