难为一下老师们，求\(sin(2^{10000})\)是正数还是负数？可以用电脑辅助请描述数学思路

awei

ysr 发表于 2021-8-21 13:27
额，方法巧妙，学习一下，我按我的方法验证一下？π的值按3.141592653589计算（点后有12位），我的程序是 ...

谢谢老师回帖，您的方法也可以参考，只是在大数计算中很难保持百分百准确，尤其是在\(2^{10000}/π\)在接近某个大整数时。

ysr

19950631168807583848837421626835850838234968318861924548520089498529438830221946631919961684036194597899331129423209124271556491349413781117593785932096323957855730046793794526765246551266059895520550086918193311542508608460618104685509074866089624888090489894838009253941633257850621568309473902556912388065225096643874441046759871626985453222868538161694315775629640762836880760732228535091641476183956381458969463899410840960536267821064621427333394036525565649530603142680234969400335934316651459297773279665775606172582031407994198179607378245683762280037302885487251900834464581454650557929601414833921615734588139257095379769119277800826957735674444123062018757836325502728323789270710373802866393031428133241401624195671690574061419654342324638801248856147305207431992259611796250130992860241708340807605932320161268492288496255841312844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992461028630081535583308130101987675856234343538955409175623400844887526162643568648833519463720377293240094456246923254350400678027273837755376406726898636241037491410966718557050759098100246789880178271925953381282421954028302759408448955014676668389697996886241636313376393903373455801407636741877711055384225739499110186468219696581651485130494222369947714763069155468217682876200362777257723781365331611196811280792669481887201298643660768551639860534602297871557517947385246369446923087894265948217008051120322365496288169035739121368338393591756418733850510970271613915439590991598154654417336311656936031122249937969999226781732358023111862644575299135758175008199839236284615249881088960232244362173771618086357015468484058622329792853875623486556440536962622018963571028812361567512543338303270029097668650568557157505516727518899194129711337690149916181315171544007728650573189557450920330185304847113818315407324053319038462084036421763703911550639789000742853672196280903477974533320468368795868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376000000000000000000000000
/6283185307178=

3175241568319766070155234921252692415976199549133902542208477768522438039153148385879796123502997440389799661376408420568417240298374588802253052684841860669947272469890753140431720278764844279627802453597831548851069814988209717879900775793475620756007702670843516183205176854294566500877043298287175390635046230876799478731447441680998285509208656440005769024394080929896523638405982051589900159378023283420197449136066948568562463213670184210484578860608688174146549430693426016877605692318066411289619706015814201180899072852666091710389342161930042751039581152974294484802951580870782867161202773114268667250728328150908972922045553895471453288824754605896778214818724425771673463311934832504430223522872704198970759855746984945599099506874640220853438995482326471870860285550190779898170986956669413590688290152162267406003089040769041095990175516856713943206294174828007368696873690434813738664766650861039445385336706064692710357380712632594470153128114097917033881799751666451462835206762855957328940457288870289959226301314196169569401812998587887362697727093606516440708693699548544335203131533511373440784726827131422338409804015032981400835694404256355313621803629972929625518483050507825714344556045998380079553225245839832920037442930851652386352703763896817429556294922993871939913596276331715320566281181219737720506298374646044641557220641953519868457190882432699615228926027003674614723196878913114633509418823613934295504923004414906556267495972548741106591195719175408119551898752501186359297721036287396088018511753696244385615416028983128289806860290238922118112031722083328262369989490988145659102943358877230113336025171723291318803027112399975254618193420433507878188649759624418377311750438662281873249748711614797016966612586678883452283533073188242382710413949232321082211434500874539034594164608721310673664745244018680894222472135176595380909465552476288614269322273556956788769913695491076528856234177312460340035748416674366139657233708643641974832788176969551209439908262709848306927931594023107007202591363050482145943723975551739984956047586723276662060248026843610883102546327098342288248208546658052049355266765006499851432013677221581778972620222541726087612003614198121178277005833759260511225064365960701362403774151517573582878123213358294578094652413488248205498391449368490301548149424047966464143705068111998445531817011191498142675461875279611931543192919418313643930059528064790777729466156882170713942003407931048848280459450941369686010293691181962696989197495233950312403798522169081093329317867778589059189819406029539654966049976359811759211639314432040547963846295529096182823812459898953511993825861140347894282236040748473372834821450750752415767909046254287072297119835795504031846722292950892471612113868871822972927463835381144702758598248469256909443900389232924020888036629849837767287627939981592660641762168741542999013790342539684678679085444341352141124876425200643337754102881015071720155956344236337443082075885421928537735959932685109923448486704583861697/2673586638934

ysr

整数部分末尾12位是704583861697，所以，小数为0.704583861697

0.704583861697*360=253.65019021092>180，而小于270，则sin是负值

ysr

awei 发表于 2021-8-21 05:37
谢谢老师回帖，您的方法也可以参考，只是在大数计算中很难保持百分百准确，尤其是在\(2^{10000}/π\)在 ...

嗯，对，有道理，我的计算仅仅做参考，和你的结论是一致的，sin是负值。

ysr

ysr 发表于 2021-8-21 05:50
嗯，对，有道理，我的计算仅仅做参考，和你的结论是一致的，sin是负值。

所以其sin,cos 都是负值，tan是正值。

采用弧度制有时候很麻烦，优点是可以与全体实数对应。

awei

ysr 发表于 2021-8-21 20:15
所以其sin,cos 都是负值，tan是正值。

采用弧度制有时候很麻烦，优点是可以与全体实数对应。

求\(tan(2^{10000})\)，只要求出二进制的\(\frac{2}{\pi}\)小数点后第10000位的数是1还是0,
是0,\(tan(2^{10000})>0\)
是1\(tan(2^{10000})<0\)

二进制的\(\frac{2}{\pi}\)小数点后第10000位的数是为0，故\(tan(2^{10000})>0\)。



求\(cos(2^{10000})\)，就要求出\(sin(2^{10000})\)是正还是负，还有\(sin(2^{10001})\)是正还是负。
根据以前求sin正负的方法
，
二进制\(\frac{1}{\pi}\)第10000位是1，,第10001位都是0
这说明\(sin(2^{10000})\)是负数，\(sin(2^{10001})\)是正数。
根据二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)
可知\(sin(2^{10001})=2sin(2^{10000})\)\(cos(2^{10000})\)
正数=负数*负数
就可以得出\(cos(2^{10000})<0\)

ysr

awei 发表于 2021-8-21 12:53
求\(tan(2^{10000})\)，只要求出二进制的\(\frac{2}{\pi}\)小数点后第10000位的数是1还是0,
是0,\(t ...

您的理论很好，很巧妙，我还要学习理解消化，谢谢沟通指导！
祝愿不断进步，弘扬科学精神，推动数学发展进步！

awei

ysr 发表于 2021-8-21 21:04
您的理论很好，很巧妙，我还要学习理解消化，谢谢沟通指导！
祝愿不断进步，弘扬科学精神，推动数学发展 ...

和您共同学习，个人觉得是个好东东，所以加权限了，原理不难就是有点绕，您是元老我的帖子能看，当初陆老师都没真正解释真正明白，我最后把遗留的那点漏洞找到了

ysr

awei 发表于 2021-8-21 13:12
和您共同学习，个人觉得是个好东东，所以加权限了，原理不难就是有点绕，您是元老我的帖子能看，当初陆 ...

好，您也是元老，都是好朋友！互相切磋，共同进步！谢谢您鼓励和指导！

haifeng2017

# `#`表示注释, `>>`表示Calculator的输入提示符.
# 设置精度为小数点后10000位.  
>> setprecision(10000)

# 打印 pi 的值
>> pi()
in> pi()
out> 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...  (太长故略)

# 将此值赋给变量 pi
>> pi=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679~~~ (太长故略)


# 计算2^10000
>> 2^10000
in> 2^10000

out>
19950631168807583848837421626835850838234968318861924548520089498529438830221946631919961684036194597~~~0686391511681774304792596709376


# 有3011位
------------------------

\sin(x-2k\pi)=\sin(x)
求 k, 使得 0<=x-2k\pi<2\pi

>> 2^(10000-1)/pi
out>
31752415683189643354881712983452912661154171024308339018892432889783558436082804844228676811409358957043052358~~~0861161111139081920806926357.60449723301083696763052919~~~


------------------------
# 将上面得到数的整数部分赋给 k
>> k=31752415683189643354881712983452912661154171024308339018892432889783558436082804844228676811409358957043052358~~~0861161111139081920806926357

# 计算 2^10000-2*k*pi, 此数一定小于 2*pi
>> 2^10000-2*k*pi

out>
3.798168132684405735176076010366531470407194552426417693406548052591390389388645363267535083382278947829~~~

------------------------
# 即 \sin(2^10000)\approx\sin(3.7981681326844057351760760103665314704071945524264176934...)

使用微软自带的计算器计算

sin(3.79816813268440573517607601)

约等于

-0.61040791723689579943263097823087


==================================
注: \pi的精度必须非常高.