一次“数学文化”答题活动的题目设计

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一次“数学文化”答题活动的题目设计

作者: 杨凡

今年的圆周率日，作为魔都一家出版社的数学编辑，笔者有幸组织了一场以“数学文化”为主题的答题活动。这次活动共127人交卷，活动的对象主要是4年级以上的中小学生，当然据事后调查，也有全家总动员的情况。虽然已经过去4个多月，但笔者对此次活动记忆犹新，现记录一二，跟大家分享。

这次活动共20道单选题，每题5分。题目难度由易到难，并尽可能地融入数学文化的成分。下面，笔者依次给出每道题的出题心得，同时表达自己对数学文化的一些理解。为了保留您做题的乐趣，绝大部分题目没有在正文中给出答案，您可以放心阅读。

1. 今天（2021年3月14日）是第二届国际数学日，取这一日期是因为圆周率π的近似值约等于3.14.（   ）

作为第一道题，理所应当简单一些。但98.4%的正确率远远超过其他题目，还是非常点令人意外的。

2. 花花排队购物，从前往后数是第4个人，从后往前数是第7个人.请问一共有多少人排队？

A.10     B.11     C.12      D.13

这道题是一二年级的思维训练题，难度很低，但需要避免思维惯性。有人说，思维训练不就是小学奥数吗？和数学文化有什么关系？笔者认为，广义的数学文化不仅包含数学史、数学故事，还包含数学的语言、思想、方法等等，而这些内涵在思维训练题中也得以体现。

3. 6盏亮着的电灯，编号为1,2,3,4,5,6,各有一个拉线开关控制.将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为3的倍数的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为几盏?

A.2     B.3     C.4      D.6

这道题的出题背景源自2016年华西都市报的一篇文章《错误答案5年无人察觉 9岁小学生纠错奥赛名题》，讲述了四川的一名9岁小学生罗弋坚持己见，推翻奥数名题标准答案的故事。类似的问题还有正四面体和正四棱锥拼接最少几个面，也是由一位美国的小朋友推翻结论并解决。感兴趣的读者可以进一步了解。

4. 如下图，是一种曾在上个世纪40年代风靡欧洲的拼图游戏——“伤脑筋十二块”。上个世纪50年代，上海一位退休语文教师方不圆把它改编成立体的，做法是让每一块的形状不变作为底面，高度变成与每个小正方形的边长相同，记为1.如果把这12块拼成底面为4×3的长方体，它的高是多少？

A.1     B.2     C.5     D.6



笔者周围有一个特殊的群体，他们虽然年事已高，但对伤脑筋12块乐此不疲（他们喜欢称作“12块”），更有甚者花了20余年研究和记录“12块”的各种奇妙摆法。

“12块”的背后涉及到很多有趣的数学问题，例如笔者和朋友曾发现，取这12块中的任意多种，都能密铺平面。美国著名数学科普作家马丁加德纳也对此有过研究。在这个时代，各种高科技的益智玩具层出不穷，但能经历时间沉淀下来的，最终才能成为“文化”。

5. 它被誉为国际数学界的最高奖项，1936年首次颁发，华裔数学家丘成桐先生曾荣获该奖.2014年，美国数学家玛利亚姆·米尔扎哈尼成为第一位获得该奖的女数学家.请问这个奖的名称是？

A.陈省身奖  B.诺贝尔数学奖  C.奥斯卡奖  D.菲尔兹奖

这道题的出题缘由，源自几年前笔者在华师大旁听的一次“非常数学”夏令营。记得在闭幕式上，徐斌艳教授介绍了从古至今有卓越成就的女数学家，其中便包括米尔扎哈尼。

6. 如图，两个一样的圆柱体，垂直地贯穿在一起，它们的公共部分被称作“牟合方盖”.如下图，从一个圆柱的方向看去，该牟合方盖的主视图、左视图、俯视图分别是什么形状？

A. 正方形、正方形、正方形   

B.圆形、圆形、圆形  

C.圆形、圆形、正方形   

D.正方形、正方形、圆形



牟合方盖是笔者读高中时在课外书上首次认识的，之后便对其美妙的性质印象深刻。后来知道，它在数学史上还有一定的地位——祖氏父子在刘徽的工作基础上用牟合方盖首次算得球的体积。

7. 桌上有9枚硬币，其中6枚正面朝上，3枚反面朝上.现在把硬币随机分成两堆，然后把其中一堆硬币翻个面.要使两堆中正面朝上的硬币数量相同，应该把多少枚硬币翻个面？

A.3   B.4  C.5  D.6

这是一道比较经典的趣题，乍一看，能做到题目所述的效果令人不可思议。可以用设未知数的方法进行求解。

8. 小理把《趣味数学300题》《新华辞典》《红楼梦》《上下五千年》四本书随机放到数学、文学、历史、工具书四个书架上，问四本书的位置全部放错的情况有多少种？

A.4     B.9    C.16    D.24

这是著名的装错信封问题，也叫错排问题，最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究。希望用这道题致敬大数学家欧拉以及具有传奇色彩的伯努利家族。

9. 可以表示成一个整数的平方的数，叫做完全平方数.如果一个完全平方数的十位是7，则它的个位一定是几？

A.1      B.4      C.5      D.6

要做出这道题，需要知道完全平方数的一个比较冷门的性质。当十位是奇数时，个位必定是 4 或 6 。

10. 回文数是指正读和反读都一样的数，例如5、11、323、4884等.把一个自然数与它的逆序数（倒过来读的数）相加，得到一个新数.不断重复这个过程，基本总能得到回文数.比如39，需要经过2步得到回文数：39+93=132，132+231=363.

请问，314159需要经过多少步得到回文数？

A.2   B.3   C.4   D.5

这道题的背景是至今尚未解决的回文数猜想，也叫利克瑞尔猜想。196可能是最小的利克瑞尔数，虽然计算机已经验证到天文数字，但仍然没有结果。

11. 把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来，就成了著名的莫比乌斯带.莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁于1858年独立发现.普通的环形纸带，如果沿着正中间剪开，会得到两个一样的环形纸带.那么，把莫比乌斯带沿着正中间剪开会得到           



A.一根大的莫比乌斯带  

B.一个绕了两个半圈的纸带  

C.两个分开的环形纸带   

D.两个套在一起的莫比乌斯带

这道以莫比乌斯带剪纸游戏为背景的题目得分率是最低的（34.7%），可能大家都懒得动手进行验证吧。需要提一句，推广到绕 n 圈的情形是第一届阿里巴巴数学竞赛的题目。

12. 平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满整个平面.下图是用正三角形和正六边形组成的一种规则的密铺方式，其中正三角形与正六边形的数量之比为：



A.6:1    B.3:1   C.2:1   D. 1.5:1  

这道题其实不难。如何根据重复图案，找出最小重复单元，便是这道题的精髓所在。

13. 阿基米德多面体，是由两种及两种以上的正多边形为面的对称多面体，共有13种.和正多面体一样，阿基米德体在生活中也十分常见.比如，小朋友踢的足球，就是由一种阿基米德体“膨胀”之后得到的.请问是哪一个阿基米德体？



A.第①个    B.第②个     C.第③个      D.第④个

从这道题可以看出，一些生活中习以为常的事物背后蕴含了数学的原理。

14. 作为东方的文明古国，我国的古代数学家也有非常辉煌的成就.比如首先把圆周率计算到小数点后第7位，领先西方近千年的祖冲之；首创割圆术，并为《九章算术》做注解的刘徽等等.请问以下哪个成果是我国数学家首先取得的？（   ）

A.证明毕达哥拉斯定理      

B.提出中国剩余定理   

C.完成《几何原本》   

D.发现欧拉公式 e^(iπ)+1=0

数学史上以中国或中国人的名字命名的定理不多，我们需要对自己国家取得的成就有所了解。

15. 有一个神奇的分数，它是所有分子、分母为自然数，且分母不超过16500的分数中，最接近圆周率π的数，由祖冲之最先发现，被称为密率或祖率.这个数是

A.22/7 B.157/50 C.355/113 D.3927/1250      

“圆周率日”答题活动，当然离不开我们的主角——圆周率——以及它背后动人的音符。

16. 历史上著名的七桥问题，曾难倒许多人.后来数学家欧拉把它转化成我们熟知的一笔画问题，并将其解决.他发现一幅图可以一笔画，必须要奇点的数目是0个或2个.（有奇数条线连出的顶点叫做奇点，反之叫做偶点.）以下不能一笔画的是？



A.第①个    B.第②个     C.第③个      D.第④个

妇孺皆知的一笔画游戏，你是否知道其背后的数学背景和规律呢？

17. 莱洛三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.莱洛三角形的一个特点是具有等宽性，即各个方向的宽度均相同.如果一个莱洛三角形的宽度是1，它的周长是



A.π/2   B.π  C.2π   D.3π

这个棱角分明的三角形，被应用在井盖、汽车发动机、产品造型等生活中的很多地方（笔者发现一些类似信号塔的建筑上也有莱洛三角形的身影），其”定宽曲线”的性质还是微分几何的研究对象。

18. 我们都观察过正方体，比如魔方、积木块、方盒子等等.请问在太阳底下，正方体的影子不可能是哪个图形？



A.正方形   B.长方形   C.五边形   D.六边形

这道题目源自央视综艺节目《加油向未来》，它有一种巧妙的解法。因为正方体是一个非常对称和完美的几何体，它的每组对边全都平行且相等。因此它的影子一定有偶数条边。

19. 有 2 堆石子，数目分别为 2020 和 2021 。甲和乙轮流进行以下操作：“把其中一堆拿掉，并把剩下一堆重新分成两堆.”首先无法进行完整操作的人算输（比如剩下（1,1）两堆时）.甲先行动，如果他想必胜，第一次应该怎么操作？

A.拿掉偶数堆，把奇数堆分成奇数堆加偶数堆

B.拿掉奇数堆，把偶数堆分成两个偶数堆

C.拿掉奇数堆，把偶数堆分成两个奇数堆

D.甲不管怎么操作都不可能必胜

尼姆游戏的规则变化无穷，并且其制胜策略千差万别，这一点尤其引人入胜。笔者曾总结过尼姆游戏的一些典型变化，感兴趣的读者可以在视频号中搜索“尼姆游戏的各种变形”。

20. 有这么一列数，1，1，2，3，5，8……它的后一个数等于前面两个数之和.这个数列叫做斐波那契数列，由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现.向日葵中的种子的排列数就是两个相邻的斐波那契数.它有很多奇特的性质，比如①越往后，相邻两个数之比越接近0.618②前 n 项之和等于第 n+2 项减去第 2 项.如果已知第 30 项是 832040 ，请你估计一下这个数列的前 30 项之和最接近多少？

A.134万     B.217万    C.1340万    D.2170万

斐波那契数列中有着魔术般的神奇性质，等待着后来者的探索。要知道，国外的《斐波那契季刊》已经快60岁了。

因为篇幅有限，有的题目背后蕴含的数学文化阐述得不够详细，还请大家包涵。

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华理社3.14“数学文化”答题活动参考答案

数学课代表 华理社K12 3月19日

1. 今天（2021年3月14日）是第二届国际数学日，取这一日期是因为圆周率π的近似值约等于3.14.（ ）

答案：正确.

2. 花花排队购物，从前往后数是第4个人，从后往前数是第7个人.请问一共有多少人排队？

A.10     B.11     C.12     D.13

答案：A.4+7-1=10.

3. 6盏亮着的电灯，编号为1,2,3,4,5,6,各有一个拉线开关控制.将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为3的倍数的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为几盏?

A.2    B.3     C.4      D.6

答案：B.剩下1、5、6亮着.

4. 如下图，是一种曾在上个世纪40年代风靡欧洲的拼图游戏——“伤脑筋十二块”.上个世纪50年代，上海一位退休语文教师方不圆把它改编成立体的，做法是让每一块的形状不变作为底面，高度变成与每个小正方形的边长相同，记为1.如果把这12块拼成底面为4×3的长方体，它的高是多少？

A.1     B.2     C.5    D.6



答案：C.12×5÷4÷3=5.

5. 它被誉为国际数学界的最高奖项，1936年首次颁发，华裔数学家丘成桐先生曾荣获该奖.2014年，美国数学家玛利亚姆·米尔扎哈尼成为第一位获得该奖的女数学家.请问这个奖的名称是？

A.陈省身奖    B.诺贝尔数学奖   C.奥斯卡奖     D.菲尔兹奖

答案：D

6. 如图，两个一样的圆柱体，垂直地贯穿在一起，它们的公共部分被称作“牟合方盖”.如下图，从一个圆柱的方向看去，该牟合方盖的主视图、左视图、俯视图分别是什么形状？

A. 正方形、正方形、正方形  B.圆形、圆形、圆形 C.圆形、圆形、正方形 D.正方形、正方形、圆形



答案：C.

7. 桌上有9枚硬币，其中6枚正面朝上，3枚反面朝上.现在把硬币随机分成两堆，然后把其中一堆硬币翻个面.要使两堆中正面朝上的硬币数量相同，应该把多少枚硬币翻个面？

A.3 B.4 C.5 D.6

答案：D.

8. 小理把《趣味数学300题》《新华辞典》《红楼梦》《上下五千年》四本书随机放到数学、文学、历史、工具书四个书架上，问四本书的位置全部放错的情况有多少种？

A.4     B.9    C.16   D.24

答案：B.这是著名的装错信封问题，简称错排问题，最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究.

9.可以表示成一个整数的平方的数，叫做完全平方数.如果一个完全平方数的十位是7，则它的个位一定是几？

A.1      B.4      C.5     D.6

答案：D.完全平方数有一个特点，一个数A平方之后得到完全平方数 B，当 A 的个位是 4 和 6 时，B 的十位才是奇数：

(10a+4)^2=100a2+80a+16 ，(10a+6)^2=100a^2+120a+36 。所以当十位是 7 时，B 的个位一定是 6 ，比如 576 。

10. 回文数是指正读和反读都一样的数，例如5、11、323、4884等.把一个自然数与它的逆序数（倒过来读的数）相加，得到一个新数.不断重复这个过程，基本总能得到回文数.比如39，需要经过2步得到回文数：39+93=132，132+231=363.

请问，314159需要经过多少步得到回文数？

A.2  B.3  C.4  D.5

答案：B.314159+951413=1265572；

1265572+2755621=4021193；

4021193+3911204=7932397.

11. 把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来，就成了著名的莫比乌斯带.莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁于1858年独立发现.普通的环形纸带，如果沿着正中间剪开，会得到两个一样的环形纸带.那么，把莫比乌斯带沿着正中间剪开会得到______.

A.一根大的莫比乌斯带B.一个绕了两个半圈的纸带C.两个分开的环形纸带   D.两个套在一起的莫比乌斯带



答案：B.可以用实验验证.

12. 平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满整个平面.下图是用正三角形和正六边形组成的一种规则的密铺方式，其中正三角形与正六边形的数量之比为：

A.6:1    B.3:1   C.2:1  D. 1.5:1



答案：C

13. 阿基米德多面体，是由两种及两种以上的正多边形为面的对称多面体，共有13种.和正多面体一样，阿基米德体在生活中也十分常见.比如，小朋友踢的足球，就是由一种阿基米德体“膨胀”之后得到的.请问是哪一个阿基米德体？

A.第一个    B.第二个     C.第三个      D.第四个



答案：B

14. 作为东方的文明古国，我国的古代数学家也有非常辉煌的成就.比如首先把圆周率计算到小数点后第7位，领先西方近千年的祖冲之；首创割圆术，并为《九章算术》做注解的刘徽等等.请问以下哪个成果是我国数学家首先取得的？（ ）

A.证明毕达哥拉斯定理  B.提出中国剩余定理  C.完成《几何原本》  D.发现欧拉公式 e^(iπ)+1=0

答案：B.

15.有一个神奇的分数，它是所有分子、分母为自然数，且分母不超过16500的分数中，最接近圆周率π的数，由祖冲之最先发现，被称为密率或祖率.这个数是

A.22/7   B.157/50  C.355/113  D.3927/1250     

答案：C.355/113=3.1415929…

16.历史上著名的七桥问题，曾难倒许多人.后来数学家欧拉把它转化成我们熟知的一笔画问题，并将其解决.他发现一幅图可以一笔画，必须要奇点的数目是0个或2个.（有奇数条线连出的顶点叫做奇点，反之叫做偶点.）以下不能一笔画的是？

A.第①个    B.第②个     C.第③个      D.第④个



答案：D

17. 莱洛三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.莱洛三角形的一个特点是具有等宽性，即各个方向的宽度均相同.如果一个莱洛三角形的宽度是1，它的周长是

A.π/2  B.π  C.2π   D.3π



答案：B.π/3×3=π.

18. 我们都观察过正方体，比如魔方、积木块、方盒子等等.请问在太阳底下，正方体的影子不可能是哪个图形？

A.正方形   B.长方形   C.五边形   D.六边形



答案：C.因为正方体是一个非常对称和完美的几何体，它的每组对边全都平行且相等.因此它的影子一定有偶数条边.

19. 有 2 堆石子，数目分别为 2020 和 2021 。甲和乙轮流进行以下操作：“把其中一堆拿掉，并把剩下一堆重新分成两堆.”首先无法进行完整操作的人算输（比如剩下（1,1）两堆时）.甲先行动，如果他想必胜，第一次应该怎么操作？

      A.拿掉偶数堆，把奇数堆分成奇数堆加偶数堆

      B.拿掉奇数堆，把偶数堆分成两个偶数堆

      C.拿掉奇数堆，把偶数堆分成两个奇数堆

      D.甲不管怎么操作都不可能必胜

答案：C.甲先把 2021 拿掉，然后把 2020 分成两个奇数.之后，不管乙如何操作，总是会把（奇数，偶数）的局面留给甲，甲又如此操作，把（奇数，奇数）留给乙.最后，（1，1）一定留给乙，就无法操作了.

20. 有这么一列数，1，1，2，3，5，8……它的后一个数等于前面两个数之和.这个数列叫做斐波那契数列，由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现.向日葵中的种子的排列数就是两个相邻的斐波那契数.它有很多奇特的性质，比如①越往后，相邻两个数之比越接近0.618②前 n 项之和等于第 n+2 项减去第 2 项.如果已知第 30 项是 832040 ，请你估计一下这个数列的前 30 项之和最接近多少？

A.134万     B.217万    C.1340万    D.2170万

答案：前 30 项之和等于第 32 项减 1，832040×1.618×1.618≈800000×2.5≈2000000 ，选 B 。