小折纸，有大历史 ——可以写入教材的“一刀剪”最大精确五角星折法

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小折纸，有大历史 ——可以写入教材的“一刀剪”最大精确五角星折法

作者: 傅薇

摘要: “一刀剪”五角星早已有之，笔者原以为也就几十年的历史。成文过程中发现这段长长的关于五角星折纸的故事可以补充进娱乐数学的数学史中。但早期的“一刀剪”五角星方法，不是角度不精确，就是成品率不高（非最大）。本人用了三年时间打造出一种精确的、最大的且步骤较少的“一刀剪”五角星方法。据此，还得出了非常有用的推论，如：根据折出的36度可以五等分角；联合“折纸解决古希腊三大几何难题”之折纸“三等分角”方法，可以折出任意整数角度等。

关键词：折纸、娱乐数学、一刀剪、五角星、36度、五等分角、黄金比例、five-pointed star、MIT、 Erik Demaine、Between the Folds、Martin Gardner、G4G、fold-and-cut、OSME、BOS、Sam Loyd、Harry Houdini、Betsy Ross、Fu Wei

一、早期五角星/五边形折纸的背景故事

2.1 “一刀剪”问题及Erik Demaine父子的解答

&概念介绍：什么是“一刀剪”？

说到剪纸，大家应该不陌生，它是先折叠好纸，然后多刀剪，剪出某些特定图案。也许剪纸中包括“一刀剪”。但“一刀剪”（Fold-and-Cut Magic）其实是一个数学谜题，这您知道吗？

“你拿出一张纸，任意折，但最后要是一个平面，然后用剪刀剪一条直线，再把这张纸打开，你需要解答剪完后会得出什么形状？”这段话是Erik Demaine（麻省理工学院MIT有史以来最年轻教授）在折纸纪录片《折叠之间》（Between the Folds）中的叙述，他和你的父亲Martin Demaine解决这个“一刀剪”难题，获得了“麦克阿瑟奖天才奖（MacArthur Fellowship）”（ 该奖被视为美国跨领域最高奖项之一）。他们父子得出的结论是，“一刀剪”——经过有限次折叠，再一刀剪下去，可以得出任何图形，其中包括“五角星”（five-pointed star）。


图 1: 折纸纪录片《折叠之间》、Erik Demaine本人及他出版的书.

&概念介绍：什么是G4G？

G4G是Gathering for Gardner的缩写，是Tom Rodgers创办的纪念美国趣味数学大师马丁·加德纳（Martin Gardner）的社团，在国外每两年举行一次纪念活动，与会者都是秉承马丁·加德纳的娱乐数学思想，进行魔术、科学、拼图、谜题、智玩等多种主题的分享，有心者还将各领域专家的分享录成视频或集结成书。Martin Gardner是Erik Demaine的偶像，Erik Demaine从小酷爱做谜题，也曾担任过多年的G4G董事会主席，并为Martin Gardner编辑和出版过相关书籍。


图2: 三本G4G会议讲座论文集及马丁·加德纳头像.

在第三本G4G会议论文集中，P23登载了Erik Demaine父子写的关于“一刀剪”的文章。由下图可见，其五角星不是正方形能裁的最大五角星。即便这个五角星是尖角碰到正方形的边上，它也不是最大的，因为它是以正方形的中线为对称轴；而正方形能裁的最大五角星是以正方形的一条对角线为对称轴的。读者可以自行想想原因。


图3: Tribute to a Mathemagician书中登载的 Fold-and-Cut Magic方法P23

2.2 Sam Loyd书中记载的两种五角星折法（包括中国传统折法）

Sam Loyd介绍说他的第一种方法是最早、最好的方法，利用5*3.5的长方形纸如下图折叠。聪明的读者可以证明，它折出的角是有误差的，不是精确五等分角；并且特定比例的长方形纸不具有普适性。第二种也是中国的传统五角星折法，同样存在角度误差。


图4: 1914年出版的Sam Loyd书中介绍的两种五角星折法P 69.


图5: FW（笔者）证明了Sam Loyd书中两种五角星折法存在角度误差.

2.3 五角星折法与逃脱大师哈里·胡德尼及美国国旗制作的关联

&概念介绍：什么是OSME会议？

OSME全称是International Meeting on Origami Science Mathematics and Education，译成中文为折纸、科学、数学、教育国际会议，每四年举办一次，会吸引全球科学、数学、工程、教育、艺术等各领域的高端人士参加交流、作报告、交论文、出论文集/书等。可以说OSME是当今世界关于折纸跨界领域的最高端会议。笔者了解的最近两届分别是2016年在日本举行的第六届OSME6和2018年在英国牛津大学举行的第七届OSME7会议。

OSME3论文集中列举了“一刀剪”五角星与Harry Houdini、Martin Gardner、Demaine父子，甚至美国国旗设计者Betsy Ross的关联。


图6: OSME3和OSME5论文集中提到关于“一刀剪”五角星的起源和折法.

Harry Houdini（1874-1926）是世界著名的魔术师，二十世纪最伟大的脱逃大师。1922年他出版了一本书Paper Magic描述一些折纸技巧，2000年被重印。


图7: 2000年重印的Houdini书中记载了五角星的折法及笔者进行的验证.

如果说五角星的折法能追溯到第一面美国国旗国旗的诞生时刻，那么至少距今已有200多年了。


图8: 传说中第一面美国国旗制作者Betsey Ross的五角星折法及笔者的验证.

至此，我们分析了几个早期的“一刀剪”五角星折法，笔者作了验证，可见他们不是正方形所能裁的最大五角星，亦或折的角度不精确，有误差。那么，有没有能折出精确最大五角星的方法呢？下面介绍一下笔者的方法。

二、FuWei（FW）的五角星/五边形折纸方法

2.1 正五边形折法

2018年，因为一位折友的询问，笔者研究了正五边形、正七边形的折法，有幸想出最大且精确的方法，步骤也不多。被OSME7大会副会长Mark Bolitho关注到，将这两种方法刊登在当年2018年BOS（British Origami Society 英国折纸协会）Autumn 特刊Oxford Model Collection 上。


图9: 2018 BOS Autumn 杂志收录了FW的最大精确正五和正七边形的折法.

随后两年，笔者重新审核了正五边形折法，先后想出了近十种方法，最后总结出一种最精练的，随后将这种方法引申出“一刀剪”五角星方法。


图10: FW想出的改进版最大、精确正五边形折法.


图11: FW想出的最大、精确“一刀剪”五角星的方法（步骤中包括折出36°及五等分角方法）.


图12: FW想出的改进版最大、精确“一刀剪”五角星的方法.

2.2 黄金比例、正五边形、折36°与五等分角


图13: 黄金比例、正五边形及36°函数值之间的关系.


图14: FW的五等分角的证明（直角五等分＝折出18°）.

2.3 利用古希腊三等分角折法与五等分角折法可折出任意整数角度   ※※

由上一小节，我们可以得到36°角折法；在折纸中，45°角或30°角（参见图8）很容易得到；再利用三等分角方法，即可得到1°，从而可通过折纸得到任意整数角度。这应该是目前折纸中最简单精确的两种方法了。

               （45°-36°）/3/3=（36°-30°）/3/2=1°                      (1)


图15: 阿部恒（日）的折纸三等分锐角的步骤及FW的三等分角的证明.


图16: Jacques Justin折纸三等分钝角的步骤及FW的三等分角的证明.

三、总结



本文从一个大家司空见惯的五角星折纸说起，引发出一连串的知名学者、会议、机构，甚至数学史和人文历史，让笔者深刻体会了什么叫“见微知著”。学问无大小，重在“学”和“问”，善于思考和发现问题，挖掘事物本质规律。关于这个200多年历史的“一刀剪”五角星问题，笔者有幸接触并给出了自己的结论，虽然跨越几年的时间，但也学到很多东西。由于篇幅有限，还有些内容未能加入，比如：从折出黄金比例可类比折出其他金属比例；由正五边形折纸可设计黄金比例相关的折纸作品等等。文中提到Martin Gardner是Erik Demaine的榜样，而Erik Demaine是笔者的榜样，可以说榜样的力量是不可估量的。在榜样的研究成果上开拓创新既是精神上对学术榜样的一种致敬，也是在科学研究上对所处领域的专研和发展，何尔而不为呢？这篇小文是我的研究，与君共享，希望你们喜欢。

References

【2020年马丁加德纳聚会主题分享：傅薇——一刀剪最大正五边形-哔哩哔哩】https://b23.tv/eWWbVN
【Erik Demaine的主页】http://erikdemaine.org/
【(纪录片)折叠之间 Origami - Between The Folds【中配/原声】-哔哩哔哩】https://b23.tv/P377LC
【G4G】https://www.gathering4gardner.org/category/g4gn-recaps/
【BOS】http://colortreelimited.co.uk/pr ... ction-autumn-ebook/
【Betsy】https://www.ushistory.org/betsy/flagstar.html
【Houdini】http://209.237.170.79/magos/books/paper2/41.html