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通向量子引力的路,又宽了一点点

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发表于 2021-7-30 08:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
通向量子引力的路,又宽了一点点

二维共形场理论一直是重要的理论物理前沿研究工具之一,尤其是其中的刘维尔共形场理论,更是与量子引力存在着千丝万缕的直接联系。借助共形自举方法,刘维尔共形场已经可以非微扰的精确求解。然而,它的关键方程竟然是猜出来的,直至最近几年,数学家才给了出严格的证明。数学家与物理学家,对量子场论的深意又多了一点了解。

撰文 | 董唯元

量子引力理论是物理学界公认的圣杯,一直吸引着我们这颗星球上最顶级的一批智慧头脑为之不断探索。如今聪慧的科学家早已能够驾轻就熟地应用量子理论和广义相对论,乃至日常生活都能发现它们的身影,然而隐藏在这两个理论背后的宇宙奥秘,却仍然显得那么渺远难测。

2003年的时候,美国物理学家,圈量子引力的奠基者之一,李·斯莫林(Lee Smolin)曾在他的科普著作《宇宙的本源》(Three Roads to Quantum Gravity)结尾处乐观地展望:“到2010年,至多到2015年,我们应该已经拥有量子引力理论的基本框架……在拥有这个理论的10年之内,能够检测它的新型实验将会被发明出来……到21世纪末,全球的高中生都将学习引力的量子理论。”如今回望,斯莫林的预言显然过于乐观了。

也许最能体现量子理论与引力理论之间鸿沟的,就是宇宙暗能量这个概念。依照广义相对论,加速膨胀的宇宙昭示着真空具有能量,也就是爱因斯坦方程中的“宇宙常数”不为零。同时依照量子场论,真空也具有非零的能量,这已经被卡西米尔效应(Casimir effect)实验所证实。如此看来,两个理论似乎都不约而同地给出了真空能量,然而实际上二者给出的数值相差了120个数量级!注意不是120倍,而是120个数量级,也就是10^120倍。企图用真空零点能解释宇宙常数的努力,成了物理学中最离谱的猜测。

然而我们的宇宙不可能有两种真空,于是“宇宙暗能量”这个概念就被提了出来,以弥合两个理论对真空能量描述上的巨大分歧。暗能量之所以称之为“暗”,就是因为它既不在量子理论框架之内,也不能由引力理论解释。这个占据宇宙总能量70%的神秘缺口,或许只能等待未来的量子引力理论去缝合。

“降维打击”

在探索量子引力的道路上,充满了现有数学工具难以逾越的障碍,于是研究者们一边努力构建新工具,一边也在尝试简化问题的迂回方法,二维模型就是最为常用的迂回手段之一。

将高维降至二维最显而易见的好处,就是运算处理的大幅度简化。比如,在二维平面内,几次转动操作之间可以随意地交换顺序,最终的操作结果并不会因顺序的改变而受到影响。而在三维或更高维的空间中,多个转动操作之间不能随意交换顺序。可见二维空间比高维空间所受的限制更少,在处理复杂计算时可以腾挪的余地也就更大。

当然转动操作只是一个不入流的例子,研究者们真正青睐的是一种名为“共形变换(Conformal transformations)”的操作。这种操作也称“保角变换”,顾名思义就是在扭曲变形的时候能够保持任意两条线的夹角不变。比如下图所示的这个变换,就是个典型的共形变换。在变换之后,每根蓝色线与每根红色线仍然保持垂直。



如果你是第一次听到“共形变换”这个名词,也不要被这唬人的名字吓到。看看上图中那些弯曲的线条,是否让你联想到中学课本上的电场线和磁场线?再回想小时候用纸上的铁屑显示磁力线的那个小实验。其实,当你手握两块磁铁随意移动时,纸上那些铁屑图案的变化,正是一种共形变换。

物理学家在研究场的时候,非常需要共形变换的辅助。每一个共形变换中的不变量,本质上都是一种对称性的体现,就像镜像反转或空间平移的对称性一样。而对称性正是物理学家最喜欢的内容,每增加一个对称性,物理学家就可以多写出一条约束系统的方程。未知数的个数没有增加,而方程的数量增加了,求解出答案的希望当然也就随之增加了。

各种共形变换和共形对称性是如此的重要,以至于CFT(共形场理论,Conformal field theory)已经成为一门应用广泛的基础科目。不仅在量子场论和引力理论中,而且在凝聚态物理和热力学等理论中,都是不可或缺的重要工具。尤其是在20世纪末Ads/CFT对偶关系被发现之后,CFT的重要程度又进一步提升。

虽然共形场不仅限于二维,但对急于求解方程的研究者来说,二维共形场无疑是最友善的对象。因为只有在二维面上,才有无限多种共形变换,而在更高维度的空间中,只能存在有限种共形变换,所以二维共形场所蕴含的威力尤为强大。有些情况下,研究者甚至可以抛开其他因素,仅依靠这些对称性本身,就足以进行精确求解。

非微扰的求解方法

早在20世纪70年代,俄罗斯物理学家Alexander Polyakov就被二维共形场的强大威力所吸引,提出了一种全新的求解量子场的方法——共形自举(conformal bootstrap)。这种方法的基本思想,是把求解过程拆解为逐级爬楼梯。先选定一个三点结构作为基础,然后再增加第四个点,继而增加第五个点……这样求解的过程表面看似繁琐,实则却解决了一个困扰专业人士已久的难题。

传统求解量子场的基本思路,或直接或间接地继承自古老的分析力学和经典场论,即从拉格朗日量或者哈密顿量出发展开运算。其中用到的正则量子化和费曼路径积分等技巧,也是以拉氏量和哈氏量为基础。这套方法非常皮实耐用,许多关键环节已经被古圣先贤们反复打磨铺垫就绪,对后来者的我们来说,几乎就剩下代入具体情况无脑傻算。

然而这个套路在量子场论中却有个缺陷,那就是场之间的相互作用不能太强,最好是完全没有相互作用的自由场。这就好比一套求解物体运动状态的方法,其实只能求解匀速直线运动。当处理匀速圆周运动时,就把那个垂直于运动方向的加速度当作一个高阶修正项补充进来。而如果遇到变速圆周运动,就得再补充更多的修正项。

这种补丁摞补丁的做法,专业术语上称为“微扰”。意思就是说,把所有场间相互作用和其他约束条件,都看做对自由场的“微小扰动”,由此所产生的效果,都只体现在那些修正项中。显然,当我们遇到非常强的相互作用时,微扰方法就会失灵,不能提供符合实际情况的结论。(相关参见《物理学的终极问题,正等待数学来回答》)

而前面提到的共形自举方法,则是一种非微扰的套路,可以求解许多强耦合的量子场。在20世纪80年代初,Polyakov和他的两位合作者Belavin和Zamolodchikov共同发表了一篇重要论文,论文中给出了求解一系列二维共形场的框架,向研究者们展示出这一方法的强大力量。自此,以三位作者命名的BPZ方程,就成了CFT发展历程中的一个里程碑。

从N-1个点迈向N个点的BPZ方程长成下面这个样子:



看不懂也没关系,本文也没打算真的解释这个方程的含义,列出这个方程纯粹是为了满足部分读者的好奇心。顺便显摆作者使用搜索引擎的能力。

沿着BPZ方程所搭建的梯子,许多传统微扰手段无法挖掘的宝藏,现在都可以用共形自举来挖掘。在这些宝藏之中,有一个特殊的二维共形场与量子引力理论关系非常密切,它就是“刘维尔场(Liouville field)”。

作为一个二维共形场,刘维尔场当然是个如假包换的量子场。同时,刘维尔场的经典极限,又自然地给出爱因斯坦方程的二维版本。所以,刘维尔场自身就是一个漂亮的二维量子引力理论。不仅如此,刘维尔场还可以描述玻色弦在二维面内的激发,从而可视为弦理论所构建的量子引力模型中的一部分。另外,透过Ads/CFT对偶关系,刘维尔场还是一个三维弯曲时空内的引力描述。

上面一段话可能会让非理论物理专业的读者有些晕头转向,其实抛开所有专业术语来说,就是与量子引力理论相关的许多项研究中,都会闪现刘维尔场的身影。所以我们凭感觉就会知道,这个刘维尔场必定与量子引力的关系非常密切。要想了解量子引力的更多秘密,刘维尔场肯定是个极有价值的切入口。

既然有共形自举这个利器在手,刘维尔场的求解似乎唾手可得,可是这里面还有一个难题阻碍着研究的进展,那就是BPZ阶梯起步的那个三点结构必须精确表述,同时还得满足一系列约束条件。如果只是用路径积分和微扰方法来计算,就从源头上失去了“非微扰”的主旨。然而这个结构常数的寻找,却颇费了一番力气。直到20世纪90年代,才有两组研究者不约而同地给出了确定这个结构常数的公式。这个公式被命名为DOZZ公式,代表两组研究者Dorn、Otto和Zamolodchikov、Zamolodchikov。

这里没有笔误,后面两位确实都姓Zamolodchikov,其中一位就是BPZ中的那个“Z”,全名是Alexander Zamolodchikov,另外一位是他的孪生兄弟Alexei Zamolodchikov。顺便提一句,BPZ那三位虽然姓氏不同,但名字都叫Alexander,也是挺有意思的巧合。

说回DOZZ公式,借助这个公式作为起点,研究者终于可以求解刘维尔场的关联函数。但是这个DOZZ公式的来历,还是令人不够满意。因为这个复杂的公式竟然不是被推导出来,而是被生生猜出来的,可谓继承了顶级物理学家的优良传统。在1996年所发表的论文中,作者Zamolodchikov兄弟直接坦白地承认:

“需要强调的是,本节的论证与推导无关。这些更像是某种动力,我们将提出的表达式作为一种猜测,在随后的章节里我们会尝试证实这种猜测。这个猜测看起来十分自然,甚至可能被那些关注这个问题的人认为是显而易见的。”

( “It should be stressed that the arguments of this section have nothing to do with a derivation. These are rather some motivations and we consider the expression proposed as a guess which we try to support in the subsequent sections. This guess appears quite natural and might even be thought obvious to those concerned with the problem.” )


如果不能从逻辑上严格推导出这个公式,就说明我们还没有真正理解它的意义。即使它能在刘维尔场的具体计算上帮我们许多忙,但终究难以提供揭示物理世界本质的作用。

于是,一些研究者又开始努力研究,试图弄明白DOZZ公式到底能从哪个角度推导出来。这项任务的难度超出了许多人的预期,在DOZZ公式提出后的十多年里,一直没有明显的进展。直到2014年之后的几年间,才陆续出现了几篇论文成果。

这些近几年得到的DOZZ公式证明过程,都颇具跨界味道,使用了概率论方面的语言和工具,主要包括GMC(Gaussian Multiplicative Chaos,高斯倍乘混沌)和GFF(Gaussian Free Field,高斯自由场)。

从这些证明中,我们也收获了许多新的认识。原本以为随机涨落导致的引力场自身强耦合,必然无法与路径积分调和,然而借助一些来自概率论的工具,竟然可以将那些涨落的毛刺打磨得足够光滑,并顺利地兼容路径积分。

当然,物理学家们的目标绝不仅仅是驯服二维平面内那些野蛮涨落的引力,而是携驯服经验和工具出征,正面迎击真实时空中的引力。

附:

DOZZ公式的样子:



参考文献

[1] Kupiainen, Antti; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent (2017). "Integrability of Liouville theory: Proof of the DOZZ Formula". arXiv:1707.08785 [math.PR].

[2] Vargas, Vincent (2017). “Lecture notes on Liouville theory and the DOZZ formula”. arXiv:1712.00829 [math.PR]

[3] A.B.Zamolodchikov; Al.B.Zamolodchikov (1996).“Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory". DOI: 10.1016/0550-3213(96)00351-3. arXiv:hep-th/9506136

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