在 1～6n 中任意取 6 个不同整数，使得这 6 个数之和能被 6 整除，有几种不同取法？

天山草

王守恩 发表于 2021-7-31 11:39
比较这几个算式，就可以想象题目有多难了。
\(\frac{C_{8n}^8}{8}+\frac{n(32n^3-48n^2+34n-21)}{24}=\fra ...

王兄可以去下面帖子看一看：

【新提醒】从 1～n 这 n 个正整数中取出 m 个数，其和能被 m 整除。问：有多少种不同的取法？ - 难题征解 - 数学研发论坛 - Powered by Discuz!
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... ;tid=17953#lastpost

王守恩

谢谢陆老师！有一处笔误。
... (10) 2个数同一类，另4个数是另4类。...{4,4,1,2,2,4} 改 {4,4,0,2,3,5}

luyuanhong

王守恩 发表于 2021-8-2 15:49
谢谢陆老师！有一处笔误。
... (10) 2个数同一类，另4个数是另4类。...{4,4,1,2,2,4} 改 {4,4,0,2,3,5}

谢谢楼上 王守恩 指出我的笔误！现已更正。

王守恩

这80个数这样去找，会方便些(只要统计0就可以)。
\(6C_{n}^6\)={0,0,0,0,0,0}(本行有6个0，余同)
\(6C_{n}^4C_{n}^2\)={0,0,0,0,3,3}+{0,0,3,3,3,3}(本行有6个0)
\(6C_{n}^3C_{n}^3\)={0,0,0,2,2,2}+{0,0,0,4,4,4}(本行有6个0)
\(12C_{n}^4C_{n}^1C_{n}^1\)={0,0,0,0,1,5}+{0,0,0,0,2,4}+{0,1,1,1,1,2}+{0,2,2,2,2,4}+{0,2,4,4,4,4,}+{0,4,5,5,5,5}
\(12C_{n}^3C_{n}^2C_{n}^1\)={0,0,0,1,1,4}+{0,0,0,2,5,5}+{0,0,1,1,1,3}+{0,0,3,5,5,5}+{0,2,2,2,3,3}+{0,3,3,4,4,4}
\(8C_{n}^2C_{n}^2C_{n}^2\)={0,0,1,1,2,2}+{0,0,1,1,5,5}+{0,0,2,2,4,4}+{0,0,4,4,5,5}(本行有8个0)
\(12C_{n}^3C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1\)={000123}{000345}{011145}{012225}{012333}{012555}{014445}{033345}
\(12C_{n}^2C_{n}^2C_{n}^1C_{n}^1\)={001335}{001344}{002334}{002235}{011244}{011335}{022355}{022455}
\(6C_{n}^2C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1\)={0,0,1,2,4,5}+{0,1,1,2,3,5}+{0,1,2,2,3,4}+{0,1,3,4,5,5}+{0,2,3,4,4,5}
合计，\(6+6+6+12+12+8+12+12+6=80\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-8-2 17:17
这80个数这样去找，会方便些(只要统计0就可以)。
\(6C_{n}^6\)={0,0,0,0,0,0}(本行有6个0，余同)
\(6C_{n ...

后面的数，还是不太好找。看看这串数就知道了(主帖=80)。

{1, 2, 4, 10, 26, 80, 246, 810, 2704, 9252, 32066, 112720, 400024, 1432860,
5170604, 18784170, 68635478, 252088496, 930138522, 3446167860, 12815663844,
47820447028, 178987624514, 671825133648, 2528212128776, 9536895064400, 36054433810102}

a(n)=Sum[EulerPhi[n/k]*(2 k)!/(2 n k! k!), {k, Divisors[n]}

天山草

今天得到了 m = 2、m = 4、 m = 6、m = 8  的完整计算公式：

m = 2 的完整计算公式：



m = 4 的完整计算公式：



m = 6 的完整计算公式：



m = 8 的完整计算公式：



m = 9 的完整计算公式因本人的电脑内存不足算不出来。

能否把上面公式中的每一种情况合并起来写成一个公式？

甚至更进一步，找到某个规律，对于 2 以及所有的合数写成一个统一的公式？

天山草

上述完整公式的 mathematica  验证程序 (以 m=6 为例)：

1. m = 6;
   
2. Do[
   
3. lst = Range[n];
   
4. a = Subsets[lst, {m}];
   
5. L = Length[a]; k = 0;
   
6. Do[b = a[[i]];
   
7.   If[Mod[Sum[b[[j]], {j, 1, m}], m] == 0, k = k + 1], {i, 1, L}];
   
8. If[Mod[n, m] == 0 || Mod[n, m] == 1 ,
   
9.   s = Binomial[n, m]/
   
10.     m - (\[LeftFloor]n/
    
11.        m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor]^2 -
    
12.        17 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] + 10))/12];
    
13. If[Mod[n, m] == 2 ,
    
14.   s = Binomial[n, m]/
    
15.     m - (\[LeftFloor]n/
    
16.        m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor]^2 -
    
17.        8 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] + 7))/12];
    
18. If[Mod[n, m] == 3 ,
    
19.   s = Binomial[n, m]/
    
20.     m - (\[LeftFloor]n/
    
21.        m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor]^2 -
    
22.        8 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] - 1))/12];
    
23. If[Mod[n, m] == 4 || Mod[n, m] == 5 ,
    
24.   s = Binomial[n, m]/
    
25.     m - (\[LeftFloor]n/
    
26.        m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/
    
27.           m\[RightFloor]^2 + \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] + 2))/12];
    
28. If[k == s, Print["n= ", n, " 时正确。"]];
    
29. , {n, 6, 30}]

复制代码

程序运行结果：

1. n= 6 时正确。
   
2. n= 7 时正确。
   
3. n= 8 时正确。
   
4. n= 9 时正确。
   
5. n= 10 时正确。
   
6. n= 11 时正确。
   
7. n= 12 时正确。
   
8. n= 13 时正确。
   
9. n= 14 时正确。
   
10. n= 15 时正确。
    
11. n= 16 时正确。
    
12. n= 17 时正确。
    
13. n= 18 时正确。
    
14. n= 19 时正确。
    
15. n= 20 时正确。
    
16. n= 21 时正确。
    
17. n= 22 时正确。
    
18. n= 23 时正确。
    
19. n= 24 时正确。
    
20. n= 25 时正确。
    
21. n= 26 时正确。
    
22. n= 27 时正确。
    
23. n= 28 时正确。
    
24. n= 29 时正确。
    
25. n= 30 时正确。

复制代码

王守恩

在 1～n 中任意取 6 个不同整数，使得这 6 个数之和能被 6 整除，有几种不同取法？

\(a(n)=\frac{n!/6}{6!(n-6)!}+(\lfloor\frac{Mod(n-2,6)+1}{6}\rfloor+\lfloor\frac{Mod(n-1,6)+1}{6}\rfloor)(\frac{17\lfloor n/6\rfloor^2-10\lfloor n/6\rfloor}{12})\)
\(\ \ \ +(\lfloor\frac{Mod(n+3, 6) + 1}{6}\rfloor)(\frac{8\lfloor n/6\rfloor^2-7\lfloor n/6\rfloor}{12})+( \lfloor\frac{Mod(n+2, 6) + 1}{6}\rfloor)(\frac{8\lfloor n/6\rfloor^2+\lfloor n/6\rfloor}{12})\)
\(\ \ \ -(\lfloor\frac{Mod(n+1, 6) + 1}{6}\rfloor+ \lfloor\frac{Mod(n, 6) + 1}{6}\rfloor)(\frac{\lfloor n/6\rfloor^2+2\lfloor n/6\rfloor}{12})-\frac{3\lfloor n/6\rfloor^3}{4}\)

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 34, 76, 152, 284, 496, 831, 1328, 2056, 3084, 4512, 6444, 9030,
12414, 16803, 22404, 29488, 38332, 49298, 62740, 79120, 98900, 122651, 150952, 184518,
224054, 270430, 324516, 387348, 459972, 543633, 639564, 749232, 874104, 1015882, ...........}
注：《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有收录。

王守恩

天山草 发表于 2021-7-31 06:11
1～9n 已无法用待定系数方法做了。因为本人电脑能力有限，算出来可能需要许多天。

所谓待定系数法，就 ...

在 1～n 中任意取 9 个不同整数，使得这 9 个数之和能被 9 整除，有几种不同取法？

\(a(n)=\frac{n!/9}{9!(n-9)!}-\frac{2\lfloor n/9\rfloor^5-20\lfloor n/9\rfloor^4+43\lfloor n/9\rfloor^3}{27}\)
\(+(\frac{73\lfloor n/9\rfloor^2-24\lfloor n/9\rfloor\ \ }{27})(\lfloor\frac{(n+8)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n+7)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n+6)_{9}+1}{9}\rfloor)\)
\(+(\frac{100\lfloor n/9\rfloor^2-33\lfloor n/9\rfloor\ \ }{27})(\lfloor\frac{(n+5)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n+4)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n+3)_{9}+1}{9}\rfloor)\)
\(+(\frac{127\lfloor n/9\rfloor^2-24\lfloor n/9\rfloor\ \ }{27})(\lfloor\frac{(n+2)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n+1)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n)_{9}+1}{9}\rfloor)\)
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 7, 26, 81, 224, 559, 1274, 2704, 5408, 10270, 18668,
32668, 55278, 90808, 145292, 227011, 347186, 520779, 767454, 1112799, 1589712,
2240037, 3116562, 4285272, 5827956, 7845312, 10460416,13822676,18112456,23546192,}
注：《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有收录。

天山草

王守恩在 19# 楼给出的 m=9 的公式验证程序如下：

1. m = 9;
   
2. Do[lst = Range[n];
   
3. a = Subsets[lst, {m}];
   
4. L = Length[a]; k = 0;
   
5. Do[b = a[[i]];
   
6.   If[Mod[Sum[b[[j]], {j, 1, m}], m] == 0, k = k + 1], {i, 1, L}];
   
7. s = Binomial[n, 9]/
   
8.     9 - (2 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^5 -
   
9.       20 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^4 +
   
10.       43 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^3)/
    
11.     27 + (73 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^2 -
    
12.        24 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor])/
    
13.      27 (\[LeftFloor](1 + Mod[n + 8, 9])/
    
14.         9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n + 7, 9])/
    
15.         9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n + 6, 9])/
    
16.         9\[RightFloor]) + (100 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^2 -
    
17.        33 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor])/
    
18.      27 (\[LeftFloor](1 + Mod[n + 5, 9])/
    
19.         9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n + 4, 9])/
    
20.         9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n + 3, 9])/
    
21.         9\[RightFloor]) + (127 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^2 -
    
22.        24 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor])/
    
23.      27 (\[LeftFloor](1 + Mod[n + 2, 9])/
    
24.         9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n + 1, 9])/
    
25.         9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n, 9])/9\[RightFloor]);
    
26. If[k == s, Print["n= ", n, " 时正确。"]];
    
27. , {n, 9, 30}]

复制代码

程序运行结果：

1. n= 9 时正确。
   
2. n= 10 时正确。
   
3. n= 11 时正确。
   
4. n= 12 时正确。
   
5. n= 13 时正确。
   
6. n= 14 时正确。
   
7. n= 15 时正确。
   
8. n= 16 时正确。
   
9. n= 17 时正确。
   
10. n= 18 时正确。
    
11. n= 19 时正确。
    
12. n= 20 时正确。
    
13. n= 21 时正确。
    
14. n= 22 时正确。
    
15. n= 23 时正确。
    
16. n= 24 时正确。
    
17. n= 25 时正确。
    
18. n= 26 时正确。
    
19. n= 27 时正确。
    
20. n= 28 时正确。
    
21. n= 29 时正确。
    
22. n= 30 时正确。

复制代码

当  n 更大时，硬算的结果将给不出。所以只验证到  n=30。 用公式单独算，算到  n  等于大于  45 时结果就不是整数了。所以公式还需要修正。