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在 1~6n 中任意取 6 个不同整数,使得这 6 个数之和能被 6 整除,有几种不同取法?

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发表于 2021-7-30 00:17 | 显示全部楼层 |阅读模式



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参与人数 1威望 +15 收起 理由
wintex + 15 謝謝老師

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发表于 2021-7-30 10:48 | 显示全部楼层
陆老师 这样分类 我认为很科学 但是  当n>=5是 就分类情况很多   很担心 漏一种
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发表于 2021-7-30 21:44 | 显示全部楼层
仿照陆教授的方法做出:

在 1~4n 中任意取 4 个不同整数,使得这 4 个数之和能被 4 整除,有几种不同取法?

公式为:


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发表于 2021-7-30 23:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2021-7-31 06:12 编辑

以下按待定系数方法做。

在 1~8n 中任意取 8 个不同整数,使得这 8 个数之和能被 8 整除,有几种不同取法?

公式为:



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发表于 2021-7-31 06:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2021-7-31 06:26 编辑

1~9n 已无法用待定系数方法做了。因为本人电脑能力有限,算出来可能需要许多天。

所谓待定系数法,就是先确定公式的样式,只是有一些系数需要确定,为此必须先运行一个能给出标准答案的程序,让它给出 n=1、2、3、4、5 时的取法数目 s,然后得到一个关于未知系数的方程组,解之就得到公式。

对于 1~9n,目前已算出:

n=1 时 s=1。
n=2 时 s=5408。
n=3 时 s=520779。
n=4 时 s=10460416。
n=5 时 s 等于多少算不出来,电脑已近死机。因为系数有 5 个,所以必须算出 n=5 时的 s,这样才能凑够五个方程。

如果哪位网友的电脑好,或者程序更优化,请给出答案。这样就能确定  1~9n 的公式。

此时如果用陆教授上面的方法逐个情况分析当然也行,只是情况非常复杂,费脑细胞不说,还难免挂一漏万,最好设计一个分析程序。
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发表于 2021-7-31 06:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2021-7-31 06:47 编辑

对于这个问题,即使算出了 1~9n、1~10n、1~12n、1~14n、1~15n、.........,那也是大戏刚开场,好戏可能在后面。

因为我们最终需要解决的问题其实是:

在 1~n 这连续 n 个正整数中,取出 m 个数字(m 非素数),使这 m 个数字之和能被 m 整除。问有多少种取法?

能否给出一个统一的计算公式?

当 m 等于素数时,包括 m=2,我们已经得到了一个统一的公式,见

www.mathchina.com/bbs/forum.php? ... page%3D2&page=3

公式虽然未经严格证明,但验算了许多数据,尚未发现有一个反例。
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发表于 2021-7-31 09:36 | 显示全部楼层
这个 我 提供 一个思路 m是素数  可以有统一公式   
为啥素数可以  合数不可以?
我们可以分解因式的方法 如 当M=6 时  是否可以找  取6个数字  能被3 整除    能被2整除的有哪些 再找 之间的关系  就出来了     
只是 思路  验证  太难了

点评

m 是素数时,已经找到了统一公式。这个问题可以说已解决了。  发表于 2021-7-31 10:52
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发表于 2021-7-31 09:41 | 显示全部楼层
其次通项公式 可以写成 An=aC(kn,k)+bC(kn,k-1)+bC(kn,k-2)+cC(kn,k-3)+..+zC(kn,0)
通过这周 通项 一个容易观察出  abcd ... 的关系  
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发表于 2021-7-31 10:16 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2021-7-31 06:11
1~9n 已无法用待定系数方法做了。因为本人电脑能力有限,算出来可能需要许多天。

所谓待定系数法,就 ...

这个 利用计算机 和陆老师的方法   计算机只需要算 当n=2  时就好了   当n=2 计算机 算准确了  在陆老师的方法凑出来  如果漏了 肯定和n=2的值 不相等  (当然 你不要 有漏 还有算多了的)
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发表于 2021-7-31 11:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-7-31 12:46 编辑

比较这几个算式,就可以想象题目有多难了。
\(\frac{C_{8n}^8}{8}+\frac{n(32n^3-48n^2+34n-21)}{24}=\frac{16384n^8-57344n^7+82432n^6-62720n^5+27496n^4-7196n^3+1263n^2-315n}{315}\)
\(\frac{C_{6n}^6}{6}-\frac{n(9n^2-17n+10)}{12}=\frac{108n^6-270n^5+255n^4-120n^3+37n^2-10n}{10}\)
\(\frac{C_{4n}^4}{4}+\frac{n(2n-3)}{4}=\frac{8n^4-12n^3+7n^2-3n}{3}\)
\(\frac{C_{2n}^2}{2}-\frac{n}{2}=n^2-n\)
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