在 1～500 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法？

王守恩

王守恩 发表于 2021-7-28 07:20
谢谢 lihp2020！很是有趣的题目。
从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 3 个相加，其和恰好是 3 的倍数 ...

谢谢 天山草的鼓励！很是有趣的题目。验证了一些数据，这个公式，对于 3 成立，对于 5 成立。对于 7 也成立。是否对于一切奇数都成立？ 经验证对于 2 不成立，对于 4 不成立，对于 6 不成立。是否对于一切偶数都不成立？

从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 (2k) 个相加，其和恰好是 (2k) 的倍数，有多少种取法？

\(a(n)=\lfloor\frac{(n-1)!}{2k*(2k)!(n-1-2k)!}\rfloor+\lfloor\frac{n-1}{2k}\rfloor-\lfloor\frac{n-1}{(2k)^2}\rfloor\)

上面的公式错误，看来我还得回到 8 楼的思路去(抄近路不行)。

天山草

王守恩老兄，验证用的 mathematica 程序如下：

1. w = 6;
   
2. a = Subsets[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,
   
3.     17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, {w}];
   
4. L = Length[a]; k = 0;
   
5. Do[b = a[[i]];
   
6.   If[Mod[(b[[1]] + b[[2]] + b[[3]] + b[[4]] + b[[5]] + b[[6]]), w] ==
   
7.     0,(*Print[b];*)k = k + 1], {i, 1, L}];
   
8. Print[k ];         

复制代码

上面程序表示从 1～26 中任意取 6 个不同整数，使得它们的和能被 6 整除，有几种不同取法？

1. k = 6; n = 26;
   
2. \[LeftFloor]Binomial[n - 1, k]/k\[RightFloor] + \[LeftFloor](n - 1)/
   
3.    k\[RightFloor] - \[LeftFloor](n - 1)/k^2\[RightFloor]

复制代码

上面程序是按你的公式计算结果。

luyuanhong

通项公式很简单：

在 1～N 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，不同取法总数是

                        { C(N,5) + 4 [N／5] }／5 。

其中 [  ] 表示向下取整。

天山草

luyuanhong 发表于 2021-7-28 16:42
通项公式很简单：

在 1～N 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，不同取法总数是

陆教授的这个通项公式是对的，与王守恩公式等价，但比王守恩公式更简单一些，但是陆教授上面这个公式只适用于 5 的特定情况，好在只须在整个公式两边加个向上取整就解决了——这样我猜想就能适用于一切奇质数的情况，即 3、5、7、11、13、17、19、23、.........
但是对于非质数的其它奇数 9、15、21、..........， 以及所有的偶数，两个公式都不成立。简言之就是对于 2 以及大于 2 的合数，公式不成立。

lihp2020

奇质数 提醒了我   谁说 2也符合     其实 就是质数 才可以 合数不可以    我去验证一下9？？

天山草

当 p=2 时，王守恩给出了下面的公式，经验证没问题。但公式对于其它偶数不成立。

lihp2020

N        王守恩公式        代码逻辑计算
9        1        1
10        2        2
11        7        7
12        25        26
13        80        81
14        223        224
15        557        559
16        1272        1274
17        2702        2704
18        5404        5408
19        10266        10270
20        18664        18668
21        32660        32668
22        55270        55278
23        90800        90808
24        145280        145292
25        226999        227011
26        347174        347186
27        520761        520779
28        767436        767454
29        1112781        1112799
30        1589686        1589712
31        2240011        2240037
发现有问题  准备回去验证一下 当12 13的时候 直接数出来 有多少

王守恩

天山草 发表于 2021-7-28 12:47
王守恩老兄，验证用的 mathematica 程序如下：

帖子有点乱，先确认一下，下面的结论成立吗？有反例吗？
在 1～n 中任意取 P 个不同整数，使得这 P 个数之和能被 P 整除，有几种不同取法？

\(a(n)=\lfloor\frac{n!}{P*P!(n-P)!}\rfloor+\lfloor\frac{n}{P}\rfloor-\lfloor\frac{n}{P^2}\rfloor\)

\(P=3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29,31, ......P是奇素数。\)
注意：这3个取整符号(小数部分作 0 )既不能少，又不可以合并。
能把主帖解决，很不容易的，我们应该高兴。
如果这串数能成立，可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有的！
在 1～500 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法？
{1, 2, 5, 12, 26, 52, 94, 160, 259, 402, 603, 876, 1240, 1716, 2328,
3104, 4073, 5270, 6733, 8504, 10630, 13160, 16150, 19660, 23755,
28506, 33987, 40280, 47472, 55656, 64932, 75404, 87185, 100394,
115157, 131608, 149886, 170140, 192526, 217208, 244359, 274158,
306795, 342468, 381384, 423760, 469820, 519800, 573945, 632510,
695761, 763972, 837430, 916432, 1001286, 1092312}

lihp2020

这个公式的主要来源是 11楼  的 ​第一个图  这图
两个信息 a 有余数数据 都是一样的   b其次 就是 相差 的数据 有规律
如果 能从原理上解释 这个 东西 可能会得到一些惊天大秘密

11楼的图来源于 7楼的图片  7楼的图片 还能得到一个更大的秘密

【在1~n，中取m-1个数 使得这 m-1 个数之和能被 m 整除 直接=C（n,m-1）/m（当m是素数） （当n是m的倍数-1除外)】
这个问题 我认为可以用对称性证明   

王守恩

天山草 发表于 2021-7-28 12:47
王守恩老兄，验证用的 mathematica 程序如下：

谢谢天山草！谢谢22楼的公式！
比较这几个算式，就可以想象题目有多难了。
\(\frac{C_{11n}^{11}}{11}+\frac{10n}{11}=\frac{2357947691n^{11}-11789738455n^{10}+25723065720n^9-32153832150n^8+25409499423n^7-13206987255n^6+4547933830n^5-1017549500n^4+140289336n^3-10628640n^2+3628800n}{3628800}\)
\(\frac{C_{7n}^7}{7}+\frac{6n}{7}=\frac{16807n^7-50421n^6+60025n^5-36015n^4+11368n^3-1764n^2+720n}{720}\)
\(\frac{C_{5n}^5}{5}+\frac{4n}{5}=\frac{125n^5-250n^4+175n^3-50n^2+24n}{24}\)
\(\frac{C_{3n}^3}{3}+\frac{2n}{3}=\frac{3n^3-3n^2+2n}{2}\)