在 1～500 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法？

lihp2020

再上传两张图片  



还在上班  晚上 再解释  能理解这三张图  一定能求出通项公式

王守恩

lihp2020 发表于 2021-7-27 12:28
1  当N趋近无穷是 结果 差不多是C(n,5)/5
所以猜测 通项公式 是 \(A_n=1/5n^5+an^4+bn^3+cn^2+dn^1+e\) ...

提醒得好！改了一下。还有错吗？我是根据11楼的资料出来的呀？
\(a(n)=\lfloor\frac{n!}{5*5!(n-5)!}\rfloor+\lfloor\frac{n}{5}\rfloor-\lfloor\frac{n}{5^2}\rfloor\)

{1, 2, 5, 12, 26, 52, 94, 160, 259, 402, 603, 876, 1240, 1716, 2328,
3104, 4073, 5270, 6733, 8504, 10630, 13160, 16150, 19660, 23755,
28506, 33987, 40280, 47472, 55656, 64932, 75404, 87185, 100394,
115157, 131608, 149886, 170140, 192526, 217208, 244359, 274158,
306795, 342468, 381384, 423760, 469820, 519800, 573945, 632510,
695761, 763972, 837430, 916432, 1001286, 1092312}

\(特别地\ \ a(500)=51048937600\)

lihp2020

7楼 给了一个错误的结果   我的错误    我说了是观察得到  不是故意给错误答案   
我当时只看了 前10来项推断出来的  后来发现 25项以后 就不满足了
有点不严谨 我道歉u

lihp2020

对图1的解释

天山草

王守恩 发表于 2021-7-27 17:49
提醒得好！改了一下。还有错吗？我是根据11楼的资料出来的呀？
\(a(n)=\lfloor\frac{n!}{5*5!(n-5)!}\rf ...

上面公式中 C(n, 5) 表示从 n 个不同元素中取 5 个的组合数。

公式下面的数表不是按公式算出来的，是编程硬算出来的，经核对，此数表与 12# 楼按公式计算的所有数据都一致。

感谢楼主提出的问题，很是有趣。

如果把 5 换成别的数字，这个公式还对吗？

luyuanhong

lihp2020

天山草 发表于 2021-7-27 20:12
上面公式中 C(n, 5) 表示从 n 个不同元素中取 5 个的组合数。

公式下面的数表不是按公式算出来 ...

我验证换成3也对  
由于那个公式 我化简不出来
可以把那个公式 理解成 5An +4[n/5]=C(n,5)  
这个化简出来 就是王守恩的那个公式

对于3 就有
在 1~n 选3个数据 被3整除的数的通项公式 是3An+2[[n/5]]=C(n,3)

对于一般的 就有
在 1~n 选2k+1个数据 被2k+1整除的数的通项公式 是（2k+1）An+2k[[n/5]]=C(n,2k+1)
其他的 （余1 2....2k）就是也能用（2k+1）Bn-[[n/5]]=C(n,2k+1)
在 1~n 选2k个数据 被2k除余k的数的通项公式 是（2k）An+(2k-1)[[n/5]]=C(n,2k)

其他的 （余0 12 k-1. k+1 ,k+2.....）就是也能用（2k）Bn-[[n/5]]=C(n,2k)
为啥是偶数就不找整除 找余数是k 是因为 1++2k =2K*k+k  刚好第一个数是余数K  就是第一种情况要多些
[[]] 就是表示向上 还是向下取整

这个 只是猜测 论证 感觉 有点玄乎

王守恩

lihp2020 发表于 2021-7-27 23:15
我验证换成3也对  
由于那个公式 我化简不出来
可以把那个公式 理解成 5An +4[n/5]=C(n,5)  

谢谢 lihp2020！很是有趣的题目。
从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 3 个相加，其和恰好是 3 的倍数，有多少种取法？

\(a(n)=\lfloor\frac{n!}{3*3!(n-3)!}\rfloor+\lfloor\frac{n}{3}\rfloor-\lfloor\frac{n}{3^2}\rfloor\)

{1, 2, 4, 8, 13, 20, 30, 42, 57, 76, 98, 124, 155, 190, 230, 276, 327, 384, 448, 518, 595,
680, 772, 872, 981, 1098, 1224, 1360, 1505, 1660, 1826, 2002, 2189, 2388, 2598, 2820, ...

王守恩

小fisher 发表于 2021-7-27 16:08
1-500除以5后余数为0、1、2、3、4的数字个数各为100个，根据余数不同，从1-500中取5个数之和能被5整除的组 ...

还可以有吗？

在 1～500 中任意取 6 个不同整数，使得这 6 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法？

lihp2020

在 1～500 中任意取 6 个不同整数，使得这 6 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法

当N~无穷时  An~ C(n，6)/5   我猜 这个题的结论 是 An= C(n，6)/5 +{XXX} 取整

后面取整函数   求要慢慢猜测了