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在 1~500 中任意取 5 个不同整数,使得这 5 个数之和能被 5 整除,有几种不同取法?

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发表于 2021-7-26 18:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
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从 1~500 之间 任意取 5个不同的整数,使得这5个整数之和 能被5整除  
问有多少组合方案?
 楼主| 发表于 2021-7-26 18:55 | 显示全部楼层
具体的值  我感觉可能 算不出来  但是  主要是思路
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发表于 2021-7-27 09:02 | 显示全部楼层
lihp2020 发表于 2021-7-26 18:55
具体的值  我感觉可能 算不出来  但是  主要是思路


先从简单算起。
1~5=1
1~6=2
1~7=5
1~8=11
1~9=22

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1~8=12, 1~9=26,  发表于 2021-7-27 11:56
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发表于 2021-7-27 11:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2021-7-27 11:59 编辑

从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 5 个相加,其和恰好是 5 的倍数,有多少种取法?

当  n = 5、6、7、........、19、20  时的方案数如下:

a[5] = 1
a[6] = 2
a[7] = 5
a[8] = 12
a[9] = 26
a[10] = 52
a[11] = 94
a[12] = 160
a[13] = 259
a[14] = 402
a[15] = 603
a[16] = 876
a[17] = 1240
a[18] = 1716
a[19] = 2328
a[20] = 3104

能不能从以上数据中找到一个通项公式呢?王守恩是寻求通项公式的行家。

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从组合角度看,它们应该与m次(或者m-1次)的一元高次方程的值直接关联,用待定系数法可求出,周期t=int((n-1)/m)+1,共有m个一元高次表达式(模m的余数对应)。  发表于 2021-8-1 22:26

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参与人数 1威望 +10 收起 理由
王守恩 + 10 谢谢鼓励!OEIS好像也没有。

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 楼主| 发表于 2021-7-27 12:28 | 显示全部楼层

1  当N趋近无穷是 结果 差不多是C(n,5)/5
所以猜测 通项公式 是 \(A_n=1/5n^5+an^4+bn^3+cn^2+dn^1+e\)

如果这个是对的 那么可以 考虑 用差分序列 求出abcde  但是 求出前5~20项 的结果 差分序列 就找不到恒为0的

其中标红的 感觉 都是1234之类的
但是结果越来越靠近 我猜测 有个 取整的逻辑

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这题目挺难的。参考A011851,A215052。  发表于 2021-7-27 14:21
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发表于 2021-7-27 14:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-7-27 14:29 编辑
天山草 发表于 2021-7-27 11:51
从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 5 个相加,其和恰好是 5 的倍数,有多少种取法?

当  n = 5、6、7 ...


谢谢鼓励!卡住了,试试下面的题目(我只会手工,数目大了手工不行)。
从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 3 个相加,其和恰好是 3 的倍数,有多少种取法?

当  n = 3,4,5,6,7........、19、20  时的方案数
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 楼主| 发表于 2021-7-27 15:15 | 显示全部楼层

先上一张图片 这个是个提示   
可以观察得到一个结果\(C(n,5) -4*(\left\lceil(C(n,5)/5)\right\rceil-1)\)  
其中\(\left\lceil***\right\rceil\)  表示 对***向上取整  
\(\left\lceil1.5\right\rceil =2 \left\lceil2\right\rceil =2\)

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非常棒! 经验证,这个通项公式完全正确!  发表于 2021-7-27 18:02
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发表于 2021-7-27 16:08 | 显示全部楼层
1-500除以5后余数为0、1、2、3、4的数字个数各为100个,根据余数不同,从1-500中取5个数之和能被5整除的组合方式有下列7种:
1){00000},方案数=COMBIN(100,5)=75287520
2){00014},方案数=COMBIN(100,3)*COMBIN(100,1)*COMBIN(100,1)=1617000000
3){00023},方案数=COMBIN(100,3)*COMBIN(100,1)*COMBIN(100,1)=1617000000
4){00113},方案数=COMBIN(100,2)*COMBIN(100,2)*COMBIN(100,1)=2450250000
5){00122},方案数=COMBIN(100,2)*COMBIN(100,1)*COMBIN(100,2)=2450250000
6){01112},方案数=COMBIN(100,1)*COMBIN(100,3)*COMBIN(100,1)=1617000000
7){11111},方案数=COMBIN(100,5)=75287520
方案总数为9,902,075,040个
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发表于 2021-7-27 16:25 | 显示全部楼层
小fisher 发表于 2021-7-27 16:08
1-500除以5后余数为0、1、2、3、4的数字个数各为100个,根据余数不同,从1-500中取5个数之和能被5整除的组 ...


忘记考虑余数之和为10、15、20的情况了,汗!
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发表于 2021-7-27 16:46 | 显示全部楼层
这次应该全了

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谢谢!看懂了,方法很好!答案正确:51048937600。  发表于 2021-7-27 20:22
按楼主在 7# 楼给出的公式计算是 51048937524。  发表于 2021-7-27 18:07

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参与人数 1威望 +15 收起 理由
王守恩 + 15 厉害的家伙!

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