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M 是 BC 中点,直线与 AB,AM,AC 交于 P,N,Q 三点,证明 AB/AP,AM/AN,AC/AQ 成等差数列

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发表于 2021-7-23 21:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

如图,M是AC中点,试证明\(\frac{AB}{AP}、\frac{AM}{AN},\frac{AC}{AQ}\)成等差数列。
问题:如果直线交于各边延长线上会有什么结论?
其它情形用向量商都可以概括为\(\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AP}}、\frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{AN}}、\frac{\overrightarrow{{}AC}}{\overrightarrow{AQ}}成等差数列\)。

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发表于 2021-7-24 21:14 | 显示全部楼层
这题是上世纪80年代前的一道竞赛题吧?

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一本书找来的  发表于 2021-7-24 21:26
不清楚  发表于 2021-7-24 21:25
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发表于 2021-7-25 10:50 | 显示全部楼层
题目都出错了!

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很容易验证  发表于 2021-7-25 21:49
改成向量商就对了  发表于 2021-7-25 21:22
如果 P、Q 都不在延长线上,题目对。如果在延长线上,没有验证过对不对。  发表于 2021-7-25 17:45
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发表于 2021-7-25 17:50 | 显示全部楼层

M怎么是AC的中点?

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写错了  发表于 2021-7-25 21:20
这个是楼主笔误了。M 是 BC 的中点。  发表于 2021-7-25 18:51
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发表于 2021-7-25 19:04 | 显示全部楼层
kanyikan 发表于 2021-7-24 13:14
这题是上世纪80年代前的一道竞赛题吧?

应该是辽宁省的数学竞赛题
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 楼主| 发表于 2021-7-25 21:59 | 显示全部楼层
建议大家动手验算,改成向量商格式叙述很简洁
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发表于 2021-8-1 09:19 | 显示全部楼层

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发表于 2021-8-1 22:59 | 显示全部楼层
楼上 Future_maths 的解答很好!已收藏。
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