谈数学思维的人文本质

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谈数学思维的人文本质

转自：www.ceec.edu.tw，作者：刘柏宏教授

在一般的认知中，数学总是被归类为一门科学，数学素养当然也是科学理性最典型的展现，这是毋庸置疑。不过本文想要强调的是，从数学发展过程来看，数学或许更接近人文学科。



谈到人文学科，大家总是联想到文学、艺术、哲学等。根据牛津字典，人文学科是指「与人类文化有关的学习」。美国史丹佛大学人文学科中心对人文学科的定义是「研究人如何处理和纪录人类经验」的学科。文学、艺术、哲学等学科当然可以毫无疑义地站立在人文学科之列。相对于科学知识的日新月异，人文学科一个很重要的本质就是「传承」。两千多年前相传由古希腊诗人荷马所写的两部巨著《伊利亚特》和《奥德赛》至今仍为人传颂；古埃及艺术中经常以类比的象征手法，透过符号展示他们对自然的认识，这一点仍然是现代艺术家惯用的手法；春秋战国时代诸子百家思想还隐约中引领着我们的处事态度。不过难道数学就不具备上述资格吗？两千多年前《几何原本》的证明形式与内容至今仍被奉为圭臬；当今全世界不也是分分秒秒、时时刻刻仍遵守着古巴比伦人所创立的六十进位？三国时期刘徽的圆面积公式「半周半径相乘得积步」和当代公式(S=πr^2)相比不仅同样精确，也更合乎直觉。所以从传承角度而言，说数学是一种人文知识应当不为过。

前述所言是从历史宏观角度谈数学的人文本质，现在改从知识增长的微观面向来看。概括来说，数学有客观的事实根据，知识的确定性(certainty)较偏重实证方法。相对于此，人文学科是一种主观认知，知识的可信度(reliability)较偏重辩证。但这种划分方法是「见林不见树」。我们不妨想一下，一个数学事实是如何产生？数学家的洞见和发现究竟从何而来？



说到这点，不得不提到两位相当长寿的数学家：法国数学家阿达马(Jacques Hadamard)和匈牙利数学家波利亚(George Polya)。两位数学家都活到 98 岁高龄，也都有专著论述数学思维的本质。阿达玛说数学的洞见或是发现需要一个「孵化」的过程，这过程除融合知识和直觉外，也依赖有意识的思考和无意识(或是潜意识)的灵光乍现。波利亚力提倡「启发法」(heuristics，又称捷思法)，强调臆测和合情推理。他说，数学不仅仅是一门演绎的科学，更是一门实验的科学。科学知识靠观察现象建立假说后，依据实验验证假说，再提出定律。而数学呢？首先观察数学物件的规律后建立猜想，再以逻辑论证证明猜想后提出定理。所以数学思维的本质与科学知识本质无异，只是工具不同，而且数学这套思想实验的法则比科学还早。

古希腊毕达哥拉斯学派称呼 6、28、496、8128 这四个数字为完美数(某数等于其所有因数之和，6=1+2+3 ；28=1+2+4+7+14 ；…)，但苦于找不到第五个完美数，因此猜测第五个完美数是 5 位数，第六个完美数是 6 位数，且他们的个位数字应该会以  6，8，6，8，… 的规律交错出现。可惜 1456 年数学家找到的第五个完美数 33550336 ，不是五位数，1588 年找到的第六个完美数 8589869056 ，个位数也不是 8 。毕达哥拉斯学派的猜想(或是幻想)至此破灭！但这无法浇熄数学家的热情，迄今仍有数学家孜孜不倦于证明或推翻关于完美数的其他猜想。



二十世纪末怀尔斯(Andrew Wiles)证明了「费马猜想」；二十一世纪初佩雷尔曼(Grigori Yakovlevich Perelman)攻克了「庞加莱猜想」；2013 年张益唐大幅缩短了「孪生质数猜想」的质数间距；2019 年 9 月 24 日高龄 89 的阿蒂亚(Michael Atiyah)宣称(但还未受到证实)证明了「黎曼猜想」。可见追逐数学猜想的浪漫情怀才是推动数学知识前进的隐形火车头，无怪乎华罗庚会说「千古数学一大猜」！

前面所说的数学人文本质对数学的素养教学有什么启发呢？简单说就是数学教学要更有「人味」，除了可以融入数学史，突显数学概念的发展历程外，教师在数学推导的教学过程中尽量不要太完美，留点余地让学生猜猜看，让想像力飞一下。数学史告诉我们，数学概念和知识形成的过程往往是崎岖和不符合逻辑的。太强调严谨、完美、和太有效率的教学会使得学生无缘体验数学知识挣扎孵化的艰辛，无法历经臆测之奇与论证之美，更难有机会享受那灵光乍现的成就感。

加州柏克莱大学熊菲德教授(Alan Schoenfeld)主张，老师们在黑板解题时要一路引领学生体验数学思考的坎坷过程，甚至刻意犯错让学生发现，如此才能培养学生的后设认知(meta-cognition)能力，也就是培养学生数学解题过程的自觉(self-awareness)。有自觉才能建立对数学知识的知觉(sense)，进而涵养数学思维中最重要的数学直觉。

来源：遇见数学