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在 4×5 格子的左下角 A 到右上角 B 的捷径中任取一条,求转弯次数的期望值

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发表于 2021-7-22 09:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問計數

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发表于 2021-7-22 17:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 fungarwai 于 2021-7-22 17:15 编辑

我想到了其他方法
考慮_→_→_→_→_→_插入轉彎.
插入頭尾時用一個.
插入中間時用兩個.
以x的冪記轉彎.的個數,以y的冪記插入次數
\((1+xy) (1+x^2 y)^4 (1+xy)\)
\(=x^{10} y^6 + 2 x^9 y^5 + 4 x^8 y^5 + x^8 y^4 + 8 x^7 y^4 + 6 x^6 y^4 + 4 x^6 y^3 + 12 x^5 y^3 + 4 x^4 y^3 + 6 x^4 y^2 + 8 x^3 y^2 + x^2 y^2 + 4 x^2 y + 2 x y + 1\)

\((1+8+6)\binom{3}{3}
+(4+12+4)\binom{3}{2}
+(6+8+1)\binom{3}{1}
+(4+2)\binom{3}{0}=126\)

\((1\times 8+8\times 7+6\times 6)\binom{3}{3}
+(4\times 6+12\times 5+4\times 4)\binom{3}{2}
+(6\times 4+8\times 3+1\times 2)\binom{3}{1}
+(4\times 2+2\times 1)\binom{3}{0}=560\)
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发表于 2021-7-22 17:22 | 显示全部楼层
他的问题 是 怎么样能构建出C(7,4)*8*2  出来 这个 感觉有点纠结 组合 求解 可能有很多方法都能算出正确答案 他要一个构建出 这种特定表达是出来 也太考验人了  
我只是有思路  在把原题做一改动 以前是5*4 改成6*5 看看看结果  在改成7*6的  不同的结果 在这个C(7,4)*8*2 哪些数字会变  可能得到C(m,n)*K*2  其中m 是什么意思 n是啥意思   通过结果 再慢慢凑出来  
但是 不想搞 太复杂了
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发表于 2021-7-22 17:41 | 显示全部楼层
當矩形有n×m格時

\(\frac{\partial}{\partial x}(1+xy)^2(1+x^2 y)^{n-1}\mid_{x=1}\)
\(=2y(1+xy)(1+x^2 y)^{n-1}+2(n-1)xy(1+xy)^2 (1+x^2 y)^{n-2}\mid_{x=1}\)
\(=2y(1+y)(1+y)^{n-1}+2(n-1)y(1+y)^2 (1+y)^{n-2}\)
\(=2ny(1+y)^n\)

\(2n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{m-1}{k}=2n\binom{n+m-1}{n}\)

這表達式等價於\(2(n+m-1)\binom{n+m-2}{n-1}\)
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