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在 4×5 格子的左下角 A 到右上角 B 的捷径中任取一条,求转弯次数的期望值

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发表于 2021-7-22 09:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問計數

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发表于 2021-7-22 17:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 fungarwai 于 2021-7-22 17:15 编辑

我想到了其他方法
考慮_→_→_→_→_→_插入轉彎.
插入頭尾時用一個.
插入中間時用兩個.
以x的冪記轉彎.的個數,以y的冪記插入次數
\((1+xy) (1+x^2 y)^4 (1+xy)\)
\(=x^{10} y^6 + 2 x^9 y^5 + 4 x^8 y^5 + x^8 y^4 + 8 x^7 y^4 + 6 x^6 y^4 + 4 x^6 y^3 + 12 x^5 y^3 + 4 x^4 y^3 + 6 x^4 y^2 + 8 x^3 y^2 + x^2 y^2 + 4 x^2 y + 2 x y + 1\)

\((1+8+6)\binom{3}{3}
+(4+12+4)\binom{3}{2}
+(6+8+1)\binom{3}{1}
+(4+2)\binom{3}{0}=126\)

\((1\times 8+8\times 7+6\times 6)\binom{3}{3}
+(4\times 6+12\times 5+4\times 4)\binom{3}{2}
+(6\times 4+8\times 3+1\times 2)\binom{3}{1}
+(4\times 2+2\times 1)\binom{3}{0}=560\)
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发表于 2021-7-22 17:22 | 显示全部楼层
他的问题 是 怎么样能构建出C(7,4)*8*2  出来 这个 感觉有点纠结 组合 求解 可能有很多方法都能算出正确答案 他要一个构建出 这种特定表达是出来 也太考验人了  
我只是有思路  在把原题做一改动 以前是5*4 改成6*5 看看看结果  在改成7*6的  不同的结果 在这个C(7,4)*8*2 哪些数字会变  可能得到C(m,n)*K*2  其中m 是什么意思 n是啥意思   通过结果 再慢慢凑出来  
但是 不想搞 太复杂了
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发表于 2021-7-22 17:41 | 显示全部楼层
當矩形有n×m格時

\(\frac{\partial}{\partial x}(1+xy)^2(1+x^2 y)^{n-1}\mid_{x=1}\)
\(=2y(1+xy)(1+x^2 y)^{n-1}+2(n-1)xy(1+xy)^2 (1+x^2 y)^{n-2}\mid_{x=1}\)
\(=2y(1+y)(1+y)^{n-1}+2(n-1)y(1+y)^2 (1+y)^{n-2}\)
\(=2ny(1+y)^n\)

\(2n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{m-1}{k}=2n\binom{n+m-1}{n}\)

這表達式等價於\(2(n+m-1)\binom{n+m-2}{n-1}\)
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发表于 2021-8-6 10:26 | 显示全部楼层
啱啱搜尋發現陸老師求出咗轉彎次數嘅期望值



將轉彎次數嘅期望值乘以路徑總數就會得到轉彎次數
\(\frac{2mn}{m+n}\binom{m+n}{n}\)

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发表于 2021-8-6 11:07 | 显示全部楼层
我重新說明一下自己的計算方法
當矩形有m×n格時,路徑有m個↑和n個→
例如有5個→,考慮在_→_→_→_→_→_的空格位置當中插入轉彎點.
插入頭尾時用一個轉彎點.
插入中間時用兩個轉彎點.
例如有一個轉彎點.在頭,兩個轉彎點.在第二格
現在考慮在_.→._.→→→→的空格位置當中插入m個↑
例如有4個↑就會有以下3種情況
↑↑↑.→.↑.→→→→
↑↑.→.↑↑.→→→→
↑.→.↑↑↑.→→→→
用隔板法可知總共有\(\binom{m-1}{t-1}\)種情況,其中t是插入轉彎點.的次數
以x的冪記轉彎點.的個數,以y的冪記插入次數
頭尾分別有1個位,中間有n-1個位
\((1+xy)^2(1+x^2 y)^{n-1}\)
多項式展開後我們需要把轉彎點.的個數乘上對應的路徑總數
所以先對x求偏導,把轉彎點.的個數從的x的冪上取下來,然後代入x=1求和
\(\frac{\partial}{\partial x}(1+xy)^2(1+x^2 y)^{n-1}\mid_{x=1}\)
\(=2y(1+xy)(1+x^2 y)^{n-1}+2(n-1)xy(1+xy)^2 (1+x^2 y)^{n-2}\mid_{x=1}\)
\(=2y(1+y)(1+y)^{n-1}+2(n-1)y(1+y)^2 (1+y)^{n-2}\)
\(=2ny(1+y)^n=2n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}y^{k+1}\)
代入t=k+1得到對應的路徑總數為\(\binom{m-1}{k}\)
\(2n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{m-1}{k}
=2n\sum_{k=0}^n \binom{n}{n-k} \binom{m-1}{k}=2n\binom{n+m-1}{n}\)
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