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求 G=P(x,y)i+Q(x,y)j,在 (a,b)≠(0,0),与 x^2+y^2=a^2+b^2 相切,指向逆时针方向

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发表于 2021-7-22 08:44 | 显示全部楼层 |阅读模式


题如上图。答案见下图。不明白红线部分为什么要求导数?是对y求导么?是把x看成y的函数么?我按照lu老师给出的方法计算出结果应该是-yi+xj。而这题的结果怎么是b和a的表达式?



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发表于 2021-7-22 23:59 | 显示全部楼层
    对于一般的曲线来说,如果要求切向量,标准的做法是用求导的方法来求得。

但因为本题要求的是圆的切向量,属于特殊情况,所以其实不用求导也可以求得。

就像在另一个帖子中那样,我们只要先写出圆的法向量,再利用切向量与法向量

互相垂直的关系,不用求导,就可以得到切向量。

    在上面 1 楼给出的标准答案中,没有采用另一个帖子中那样的做法,而是用

求导的方法来求切向量,这是对一般曲线求切向量的标准做法,当然是没有错的。

    用求导的方法来求曲线的切向量,具体来说,又可以有多种不同的做法。

    例如,如果曲线方程是用显函数 y=f(x) 表示的,就可以直接对 f(x) 求导,

得到切线的斜率 dy/dx=f'(x) ,再进一步求出切向量。

    如果曲线方程是用隐函数 F(x,y)=0 表示的,可以把其中的 y 看作是 x 的

函数,利用复合函数求导公式,对 F(x,y)=0 两边同时求关于 x 的导数,得到

F'x(x,y)+F'y(x,y)dy/dx=0 ,dy/dx=-F'x(x.,y)/F'y(x,y) ,再求出切向量。

    上面 1 楼给出的标准答案中,就是这样做的。对 x^2+y^2=a^2-b^2 两边

同时求关于 x 的导数,得到 2x+2y dy/dx=0 ,由此求得切线斜率 dy/dx=-x/y 。

    再进一步根据“指向逆时针方向”和“向量大小为 √(a^2+b^2)”的条件,就

可以得到本题要求的切向量 G=-yi+xj 。

点评

明白了。谢谢lu老师。  发表于 2021-7-23 04:34
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