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求n值,使\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{n}\)的正整数解的个数大于特定值

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发表于 2021-7-19 01:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 杨协成 于 2021-7-19 01:25 编辑

给定正整数 \(n\),令正整数 \(a\) 和 \(b\) 满足
\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{n}\]

例子:
当 \(n=4\) 时,我们可以找到以下3组正整数解
\[\begin{aligned}
(a,b)=(5,20)\implies&\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{1}{4}\\
(a,b)=(6,12)\implies&\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\\
(a,b)=(8,8)\implies&\frac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}
\end{aligned}\]

问题:
1) 求 \(n\) 的最小值,使得正整数解 \((a,b)\) 的个数大于100?
2) 求 \(n\) 的最小值,使得正整数解 \((a,b)\) 的个数大于1,000?
3) 求 \(n\) 的最小值,使得正整数解 \((a,b)\) 的个数大于4,000,000?
发表于 2021-7-19 21:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2021-7-19 22:02 编辑

把大于改成等于不好吗? 例如:
有 10 组解时 n 最小为 512。
有 11 组解时 n 最小为 24。
有 88 组解时 n 最小为 1800。

楼主的第一问,相当于有 101、102、103、104、........ 组解时 n 的最小值是多少。这样提问有点怪怪的。它的答案是:

有 113 组解时 n 的最小值为 1260,差不多相当于说 n=1260 时解的组数大于 100。
有 113 组解时 n 的值除了 1260 外,后面还有 1980,2100,2340,2772,2940,..........
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发表于 2021-7-19 22:31 | 显示全部楼层
如果问: 恰好有 100 组解的最小 n 是多少? 这个问题就难了。 n  要在大于 10000 的数中去找,也许这样的 n 根本就不存在。
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 楼主| 发表于 2021-7-19 22:38 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2021-7-19 21:39
把大于改成等于不好吗? 例如:
有 10 组解时 n 最小为 512。
有 11 组解时 n 最小为 24。

回天山草网友,因为如果使用“等于”号的话,不一定存在 \(n\) 值。举个例子,求当正好有101组解的时候,\(n\) 值是多少?

第一问答案正确,当 \(n=1260\) 时,有113组解。当解的个数大于100时,\(n=1260\) 是最小的 \(n\) 值。

欢迎继续求解第二问和第三问,穷举计算的效率是很低的

点评

这种题目有什么背景意义吗? 还不如研究 n 为何值时,等式不成立有趣。  发表于 2021-7-20 07:33
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发表于 2021-7-20 12:08 | 显示全部楼层
解的个数为n-φ(n)+1,其中φ(n)为欧拉函数。
比如n为素数,只有两组解1/(n+1) +1/(n*(n+1))和 1/(2n)+1/(2n)
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发表于 2021-7-20 19:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2021-7-20 19:26 编辑
kanyikan 发表于 2021-7-20 12:08
解的个数为n-φ(n)+1,其中φ(n)为欧拉函数。
比如n为素数,只有两组解1/(n+1) +1/(n*(n+1))和 1/(2n)+1/( ...


不对吧? 例如  n=24,用 n-φ(n)+1 算是 17 组解, 实际上只有 11  组解:

{{x->48,y->48},{x->56,y->42},{x->60,y->40},{x->72,y->36},{x->88,y->33},{x->96,y->32},

{x->120,y->30},{x->168,y->28},{x->216,y->27},{x->312,y->26},{x->600,y->25}}


又如, n=1260, 用  n-φ(n)+1 算是 973 组解, 实际上只有 113  组解,相差太多了。
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发表于 2021-7-20 20:08 | 显示全部楼层
已知正整数 n ,求方程 1/a + 1/b = 1/n 的正整数解的个数。

  从方程可得 an + bn = ab ,即有 n^2 = ab - an - bn + n^2 = (a - n)(b - n) 。

    可见,只要将 n^2 分解成两个正整数 p,q 的乘积,即有 n^2 = p×q ,就有

    p = a - n ,q = b - n , 就可以得到方程的一个解 a = p + n ,b = q + n 。

    所以,方程正整数解的个数,也就是 n^2 可分解为两个正整数乘积的种数。

    设 d(n^2) 表示 n^2 所有正整数因子的个数。

    n^2 有一个正整数因子 p ,就有一种乘积分解 n^2 = p×q ,也就有方程的一个

解。所以,方程 1/a + 1/b = 1/n 的正整数解的个数,就是 d(n^2)

    例如,当 n = 6 时,n^2 = 6^2 = 36 ,它的正整数因子有下列 9 个:

                   1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,9 ,12 ,18 ,36 。

    相应地,方程 1/a + 1/b = 1/6 的正整数解也有下列 9 个:

           a = 1 + 6 = 7 ,b = 36 + 6 = 42 。1/7 + 1/42 = 1/6 。

           a = 2 + 6 = 8 ,b = 18 + 6 = 24 。1/8 + 1/24 = 1/6 。

           a = 3 + 6 = 9 ,b = 12 + 6 = 18 。1/9 + 1/18 = 1/6 。

           a = 4 + 6 = 10 ,b = 9 + 6 = 15 。1/10 + 1/15 = 1/6 。

           a = 6 + 6 = 12 ,b = 6 + 6 = 12 。1/12 + 1/12 = 1/6 。

           a = 9 + 6 = 15 ,b = 4 + 6 = 10 。1/15 + 1/10 = 1/6 。

           a = 12 + 6 = 18 ,b = 3 + 6 = 9 。1/18 + 1/9 = 1/6 。

           a = 18 + 6 = 24 ,b = 2 + 6 = 8 。1/24 + 1/8 = 1/6 。

           a = 36 + 6 = 42 ,b = 1 + 6 = 7 。1/42 + 1/7 = 1/6 。

    上面,把 a,b 可以互相交换位置的两个解,看作是两个不同的解,如果把

这样的两个解看作是同一个解,则解的个数还要先加 1 再除以 2 ,即

          { d(n^2) + 1 }/2 。

    例如,当 n = 6 时,考虑 a,b 可交换后,解的个数就是 ( 9 + 1 )/2 = 5 。

    又例如,当 n = 1260 时,n^2 = 1260^2 = 2^4 × 3^4 × 5^2 × 7^2 。

    所以,n^2 的正因子个数 d(1260^2) = (4+1)×(4+1)×(2+1)×(2+1) = 225 。

    方程 1/a + 1/b = 1/1260 解的个数为

         { d(1260^2) + 1 }/2 = ( 225 + 1 )/2 = 113 。
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发表于 2021-7-20 20:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 cgl_74 于 2021-7-20 20:55 编辑

我的解法,供讨论哈。N值的计算有些烦冗,求解过程先忽略。

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发表于 2021-7-20 20:20 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2021-7-20 11:22
不对吧? 例如  n=24,用 n-φ(n)+1 算是 17 组解, 实际上只有 11  组解:

{{x->48,y->48},{x->56, ...

嗯,确实。还是陆教授的解法正确
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发表于 2021-7-20 21:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2021-7-20 21:13 编辑

查【数学研发论坛】,一个真分数分解成两个埃及分数之和,这个方程的所有解如下:



按上面方程写一个 mathematica 计算程序,如下:

  1. q = 211; p = 1448888888888868;
  2. a = Cases[Transpose[{t = Divisors[p^2]; tt = (Length[t] - 1)/2;
  3.     t[[1 ;; tt + 1]], Reverse[t][[1 ;; tt + 1]]}],
  4.   x_ /; Divisible[x[[1]] + p, q] -> (x + p)/q]
  5. Length[a]
复制代码


程序运行结果是:

           x                                    y
-----------------------------------------------------------
6866771985465        224855688120631678850460
6866772751482        61538657777776890564
6866774661054        17621869629629375572
6874114376892        6428828420256899
6876549069240        4829629629629560
6907120485244        1175499001453287

共有 6 组解。

也就是说  1/x +1/y =211 / 1448888888888868 的正整数解共有以上 6 组。

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