求n值，使\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{n}\)的正整数解的个数大于特定值

杨协成

给定正整数 \(n\)，令正整数 \(a\) 和 \(b\) 满足
\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{n}\]

例子：
当 \(n=4\) 时，我们可以找到以下3组正整数解
\[\begin{aligned}
(a,b)=(5,20)\implies&\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{1}{4}\\
(a,b)=(6,12)\implies&\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\\
(a,b)=(8,8)\implies&\frac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}
\end{aligned}\]

问题：
1) 求 \(n\) 的最小值，使得正整数解 \((a,b)\) 的个数大于100？
2) 求 \(n\) 的最小值，使得正整数解 \((a,b)\) 的个数大于1,000？
3) 求 \(n\) 的最小值，使得正整数解 \((a,b)\) 的个数大于4,000,000？

天山草

把大于改成等于不好吗？ 例如：
有 10 组解时 n 最小为 512。
有 11 组解时 n 最小为 24。
有 88 组解时 n 最小为 1800。

楼主的第一问，相当于有 101、102、103、104、........ 组解时 n 的最小值是多少。这样提问有点怪怪的。它的答案是：

有 113 组解时 n 的最小值为 1260，差不多相当于说 n=1260 时解的组数大于 100。
有 113 组解时 n 的值除了 1260 外，后面还有 1980，2100，2340，2772，2940，..........

天山草

如果问： 恰好有 100 组解的最小 n 是多少？ 这个问题就难了。 n  要在大于 10000 的数中去找，也许这样的 n 根本就不存在。

杨协成

天山草 发表于 2021-7-19 21:39
把大于改成等于不好吗？ 例如：
有 10 组解时 n 最小为 512。
有 11 组解时 n 最小为 24。

回天山草网友，因为如果使用“等于”号的话，不一定存在 \(n\) 值。举个例子，求当正好有101组解的时候，\(n\) 值是多少？

第一问答案正确，当 \(n=1260\) 时，有113组解。当解的个数大于100时，\(n=1260\) 是最小的 \(n\) 值。

欢迎继续求解第二问和第三问，穷举计算的效率是很低的

kanyikan

解的个数为n-φ(n)+1，其中φ(n)为欧拉函数。
比如n为素数，只有两组解1/(n+1) +1/(n*(n+1))和 1/(2n)+1/(2n)

天山草

kanyikan 发表于 2021-7-20 12:08
解的个数为n-φ(n)+1，其中φ(n)为欧拉函数。
比如n为素数，只有两组解1/(n+1) +1/(n*(n+1))和 1/(2n)+1/( ...

不对吧？ 例如  n=24，用 n-φ(n)+1 算是 17 组解， 实际上只有 11  组解：

{{x->48,y->48},{x->56,y->42},{x->60,y->40},{x->72,y->36},{x->88,y->33},{x->96,y->32},

{x->120,y->30},{x->168,y->28},{x->216,y->27},{x->312,y->26},{x->600,y->25}}


又如， n=1260， 用  n-φ(n)+1 算是 973 组解， 实际上只有 113  组解，相差太多了。

luyuanhong

题 已知正整数 n ，求方程 1／a + 1／b = 1／n 的正整数解的个数。

解  从方程可得 an + bn = ab ，即有 n^2 = ab - an - bn + n^2 = (a - n)(b - n) 。

    可见，只要将 n^2 分解成两个正整数 p,q 的乘积，即有 n^2 = p×q ,就有

    p = a - n ，q = b - n , 就可以得到方程的一个解 a = p + n ，b = q + n 。

    所以，方程正整数解的个数，也就是 n^2 可分解为两个正整数乘积的种数。

    设 d(n^2) 表示 n^2 所有正整数因子的个数。

    n^2 有一个正整数因子 p ，就有一种乘积分解 n^2 = p×q ，也就有方程的一个

解。所以，方程 1／a + 1／b = 1／n 的正整数解的个数，就是 d(n^2) 。

    例如，当 n = 6 时，n^2 = 6^2 = 36 ，它的正整数因子有下列 9 个：

                   1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，9 ，12 ，18 ，36 。

    相应地，方程 1／a + 1／b = 1／6 的正整数解也有下列 9 个：

           a = 1 + 6 = 7 ，b = 36 + 6 = 42 。1／7 + 1／42 = 1／6 。

           a = 2 + 6 = 8 ，b = 18 + 6 = 24 。1／8 + 1／24 = 1／6 。

           a = 3 + 6 = 9 ，b = 12 + 6 = 18 。1／9 + 1／18 = 1／6 。

           a = 4 + 6 = 10 ，b = 9 + 6 = 15 。1／10 + 1／15 = 1／6 。

           a = 6 + 6 = 12 ，b = 6 + 6 = 12 。1／12 + 1／12 = 1／6 。

           a = 9 + 6 = 15 ，b = 4 + 6 = 10 。1／15 + 1／10 = 1／6 。

           a = 12 + 6 = 18 ，b = 3 + 6 = 9 。1／18 + 1／9 = 1／6 。

           a = 18 + 6 = 24 ，b = 2 + 6 = 8 。1／24 + 1／8 = 1／6 。

           a = 36 + 6 = 42 ，b = 1 + 6 = 7 。1／42 + 1／7 = 1／6 。

    上面，把 a，b 可以互相交换位置的两个解，看作是两个不同的解，如果把

这样的两个解看作是同一个解，则解的个数还要先加 1 再除以 2 ，即

          { d(n^2) + 1 }／2 。

    例如，当 n = 6 时，考虑 a,b 可交换后，解的个数就是 ( 9 + 1 )/2 = 5 。

    又例如，当 n = 1260 时，n^2 = 1260^2 = 2^4 × 3^4 × 5^2 × 7^2 。

    所以，n^2 的正因子个数 d(1260^2) = (4+1)×(4+1)×(2+1)×(2+1) = 225 。

    方程 1／a + 1／b = 1／1260 解的个数为

         { d(1260^2) + 1 }／2 = ( 225 + 1 )／2 = 113 。

cgl_74

我的解法，供讨论哈。N值的计算有些烦冗，求解过程先忽略。

kanyikan

天山草 发表于 2021-7-20 11:22
不对吧？ 例如  n=24，用 n-φ(n)+1 算是 17 组解， 实际上只有 11  组解：

{{x->48,y->48},{x->56, ...

嗯，确实。还是陆教授的解法正确

天山草

查【数学研发论坛】，一个真分数分解成两个埃及分数之和，这个方程的所有解如下：



按上面方程写一个 mathematica 计算程序，如下：

1. q = 211; p = 1448888888888868;
   
2. a = Cases[Transpose[{t = Divisors[p^2]; tt = (Length[t] - 1)/2;
   
3.     t[[1 ;; tt + 1]], Reverse[t][[1 ;; tt + 1]]}],
   
4.   x_ /; Divisible[x[[1]] + p, q] -> (x + p)/q]
   
5. Length[a]

复制代码

程序运行结果是：

           x                                    y
-----------------------------------------------------------
6866771985465        224855688120631678850460
6866772751482        61538657777776890564
6866774661054        17621869629629375572
6874114376892        6428828420256899
6876549069240        4829629629629560
6907120485244        1175499001453287

共有 6 组解。

也就是说  1/x +1/y =211 / 1448888888888868 的正整数解共有以上 6 组。